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发表于 2022-5-15 00:16
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六、偏微分方程
偏微分方程理论在物理学和现代科学技术中有十分重要的应用，同时它也是现代数学中一个很重要的基础分支学科。在大学数学系的各门课程中，偏微分方程属于是比较难的课程，它可以简单地看成是常微分方程理论的进一步深化与拓广。数学分析课程中几乎所有的内容其实主要就是在为偏微分方程作准备的（当然也为其他一些课程作准备），例如数学分析级数论中的函数项级数的一致收敛理论，就反复地被用到了偏微分方程的课程中，特别是看上去比较奇怪的用三角函数级数来表示任意函数的傅里叶级数的理论，基本上就是为偏微分方程课程量身定做的，还有多元微积分中比较复杂的联系曲线与曲面积分的高斯公式（即散度定理），更是成为了研究偏微分方程中的调和方程解的性质的有力工具。
偏微分方程（有时也称为“数学物理方程”）这门课程包含了非常丰富的内容。从 18 世纪中叶法国数学家达朗贝尔开始研究波动方程的求解问题到现在，已经过去了两百多年，在此期间，像欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西这样的大数学家都对偏微分方程理论作出了重要的贡献。偏微分方程理论最基本的问题也和常微分方程一样，就是要研究偏微分方程的求解方法和解的性质。这门课程通常包含了波动方程、热传导方程、调和方程、一般的二阶线性偏微分方程、一阶偏微分方程组等基本内容。
《数学》第二卷的第六章专门讲偏微分方程。作者首先详细介绍了一些最简单的偏微分方程的形成过程，以及它们所具有的丰富的物理意义，然后运用经典的分离变量法，来重点给出了双曲型偏微分方程
的详细求解过程（其中的 u 是三元函数，Δu 是拉普拉斯算子），这个经典方法的实质就是将偏微分方程转化为常微分方程来求解，并且其中又用到了傅里叶级数的基本思想。作者还用这个分离变量法进一步求解了调和方程。接下来，作者又简要介绍了求解调和方程的经典的位势法。对于大多数偏微分方程来说，由于无法得到它们的精确解，所以就需要运用近似算法来求出偏微分方程的近似解，作者以调和方程为例，详细介绍了最常用的差分法。在这一章的最后一节，作者深入浅出地详细讲解了偏微分方程广义解的基本思想，这对于想初步了解现代偏微分方程理论的学生来说，是很有教益的。
七、概率论
尽管概率论的思想起源很早，但是只有到了 20 世纪，概率论才真正成为了一门严格系统的数学理论。特别是在 20 世纪中叶，人们开始发现了概率论在自然科学和社会科学中具有大量的应用，于是在上世纪 50 年代，大学数学系开始开设了概率论这门新的数学课程。由于《数学》这套书是在上世纪 50 年代写的，所以它对概率论的介绍还只限于很初步的水平，有些基本内容没有介绍。
目前大学概率论课程的主要内容有：随机事件和古典概型、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理。在概率论的教学中，比较难的内容是随机变量的引入、以及统计量分布函数的推导。微积分正是通过连续随机变量这一重要途径而进入了统计学领域，从而在根本上改变了早期概率论只讨论古典概型的状况。因此，应该较早地渗透分布函数的思想，以及要用数理统计的实际应用来引入概率论中各个基本概念，这是因为在历史上，概率论的各个基本概念主要都是因为数理统计的需要而自然产生的。
《数学》的第二卷第十一章专门介绍了概率论这门课程中的一些基本想法。作者首先介绍了初等概率论的公理和概率的基本计算公式，然后重点解释了大数定律和中心极限定理的基本含义。接下来，作者概要介绍了随机过程概念的基本思想。
八、实变函数论
在数学分析中研究的函数基本上都是性质比较好的函数，例如可微或者连续，最差的函数是只有有限个间断点。作为数学分析的进一步深入和发展，实变函数论主要研究在连续性、可微性和可积性方面比较差的函数。
实变函数论的重点是勒贝格积分理论。我们知道，数学分析中的黎曼积分适用于基本上连续的函数，而从实变函数论的角度看，有界函数 f(x) 在 [a,b] 上黎曼可积的充要条件是 f(x) 在 [a,b] 上的间断点集合的勒贝格测度为零。为了扩大可积函数类，改善积分的性质，就需要引入勒贝格积分，这种积分具有比黎曼积分更优良的性质，因此它的用处其实比黎曼积分更大，像调和分析和泛函分析等高一级的分析学分支学科都需要建立在勒贝格积分理论的基础之上。关于实变函数论的用处，在《数学》第三卷的后面讲泛函分析的第十九章中这样说道：
勒贝格积分“对于泛函分析是如此必要，正好象严格的实数理论之对于微积分基础。”
但是另一方面，在实变函数论课程中所进行的推理与证明又比数学分析中的推理更加精密和艰深，因此学生学习与理解起来也更加困难，这就需要让学生多了解一些关于实变函数论的来龙去脉，以增加学习的动力。实变函数论这门课程的主要内容有：集合的运算、欧氏空间中的开集和闭集、可测集类、可测函数及其性质、勒贝格积分。
《数学》第三卷的第十五章专门讲实变函数论。这一章虽然写得不是很长，但由于采用了历史上关于测度论的一些早期的朴素思想来进行讲解，因而能够比较清楚地表达了实变函数论这门课程的精神实质和最基本的想法。
作者首先讲了集合和运算和实数的基本性质，然后开始介绍开集与闭集的测度的概念，在这里，作者采用了一种比通常教科书上的定义大为简化了的测度定义（也是一种早期的测度定义），虽然现在课本上的测度定义更为一般，但是这个简化了的测度定义却能够使读者更加容易地理解可测集与可测函数这两个最基本概念的内在含义。接下来，作者运用了一个数钱币的比喻来揭示勒贝格积分的基本思想，即如果有大量的不同价值的钱币，要求计算这些钱币的总价值是多少，那么就有两种不同的计算方法。第一种方法是依次累加，第二种方法是先将同样价值的钱币放在一堆，再用每一堆钱币的个数乘以这堆钱币的单价，然后将所得到的这些数值加起来即可。第一种方法对应了黎曼积分的过程，而第二种方法则对应了勒贝格积分的过程。这个非常简单的比喻可以进一步发展成用两种图形划分的方法来计算函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上的曲边梯形：
图 6 《数学》用两种图形划分来解释黎曼积分和勒贝格积分的基本想法
这里的上面那个图形显示的是学生熟悉的黎曼积分的想法，而下面的这个图形就显示了勒贝格积分的想法，即把值域分成许多小区间，从而就能够将分为许多两两不相交的可测集，现在每个可测集上函数值都相差很少，于是在每个可测集上用任一点的函数值乘以可测集的“长度”（即测度），然后求和，再用和式的极限作为勒贝格积分的值。当然在一般的实变函数论课本上，勒贝格积分的正式定义是比较抽象的（用上积分与下积分相等来定义），而在《数学》这本书中，作者用了一个比较简单的等价定义，即先把被积函数写成特征函数的线性组合，再将勒贝格积分定义为这些特征函数的勒贝格积分的线性组合。
在这一章的最后，作者还给出了实变函数论在傅里叶分析（或调和分析）中的一个很简单的应用：联系函数 f(x) 的傅里叶级数的各个系数的帕塞瓦尔(Parseval)等式成立的充要条件是 f(x) 是可测函数，并且 f^2(x) 是勒贝格可积的函数。试想，如果没有实变函数论，就无法对满足帕塞瓦尔等式的函数类作出准确的描述。
九、抽象代数（或近世代数）
抽象代数是在 20 世纪初期形成的一门数学分支学科，它研究的对象是某些专门的集合，在这些集合上定义了满足若干条件或公理的代数运算，这种集合也称为代数系统。在目前的大学抽象代数课程里，主要讲授三种代数系统（群、环、域）的初步理论。
在历史上，群论和域论的最基本概念起源于代数方程的求解理论。具体来说，群论和域论起源于法国数学家伽罗瓦在研究一元代数方程的解是否有根式表示问题时所作出的重要发现，他发现可以将复杂的扩域问题转化为比较简单的具有对称性的置换群结构问题，从而彻底解决了 5 次以上的代数方程何时有根式解的经典问题。与此同时，人们在研究数论（特别是证明费马大定理）的过程中，以戴德金为代表的一些数学家逐步形成了环的理想理论。到了 20 世纪的 20 年代末，数学家范德瓦尔登根据数学家诺特和 E. Artin 的讲稿，写出了经典名著《代数学》，它系统总结了抽象代数的基本理论，对现代数学的发展影响极大。然而遗憾的是，在范德瓦尔登的《代数学》中，并没有给出抽象代数理论的形成过程，很多后来写的抽象代数的教科书基本上延续了这种只讲理论，不讲来龙去脉的做法，这给学生学习和理解抽象代数造成了不小的困难。
《数学》的第三卷第二十章专门讲解了抽象代数这门课程中，一些基本理论的思想方法和它们的应用。作者首先认为群论在抽象代数的理论中起着特别突出的作用，可以用群论来很好地说明抽象代数的思想和方法。作者详细介绍了置换群和几何变换群，用它们来解释关于群的一些基本概念，特别是详细讲解了在美术装饰和结晶体中用得比较多的无限离散群。然后作者简要介绍了代数方程的伽罗瓦群的基本含义。接下来，作者开始讲解群论的一些基本概念，包括群的一般定义、群的同构、不变子群和商群，还仔细解释和证明了同态基本定理。
作者用比较多的篇幅对群论作了进一步的介绍。作者介绍了李群和拓扑群的概念、拓扑学中的基本群和扭结群的概念。然后再着重讲解了有着许多应用的群表示与特征标的基本概念，与一般抽象代数课本中讲群表示论的方法不同，《数学》的作者运用了早期比较容易理解的群的矩阵表示来讲解群表示论的基本概念，甚至还可以讲到有限群的不可约表示的阶数与群的阶数之间的关系等式。
接下来，作者介绍了在抽象代数的发展历史上具有重要意义的超复数，它是复数的极大推广，其中就包括了著名的四元数。然后作者讲解了结合代数，其中也包含了常用的矩阵代数。对于李代数的介绍，作者用矩阵的指数函数清楚地解释了李代数与李群的对应关系，并且详细证明了三维空间全体向量的集合对于向量的外积乘法所构成的李代数，与空间中围绕不动点的旋转群相对应，由此就可以让读者看到几何概念与空间的旋转群之间的紧密联系。
作者在解释环的理想理论的意义时，介绍了在历史上很有名的在证明费马大定理时，人们对于唯一分解性质和理想数的重要发现，并且还介绍了理想理论另一个发源地——初等代数几何：在理想与代数簇之间具有一些最基本的天然联系，例如不可约簇所对应的理想一定是素理想等。作者在这一章的最后，简要介绍了格的基本概念及性质。
十、拓扑学
拓扑学主要研究在连续变形下关于几何形状的不变性质。它曾被数学家 J. Dieudonné 誉为是现代数学中的“女王”。这主要是因为拓扑学的思想方法已经渗透到了现代数学的各个分支学科中，无论是数论、抽象代数和代数几何，还是微分方程与几何分析，都运用了很多拓扑学的理论与方法。然而，在大学拓扑学教材的编写中，往往会受到“一般拓扑-单纯同调-奇异同调-同伦”这一理论框架的束缚，较少解释拓扑学的思想方法来源于何处，其作用又是什么。实际上，拓扑学的基本思想来源于复变函数论（尤其是黎曼面）和经典代数几何，而在现代数学和科学技术中，之所以要大量使用拓扑学方法的主要原因是由于研究高维抽象几何空间整体问题的需要，由此我们也可以将拓扑学看成是更抽象的现代意义上的几何学。
目前大学拓扑学课程的主要内容有：拓扑空间的基本概念、紧致性和连通性、商空间与闭曲面、同伦与基本群、复叠空间、单纯同调、映射度与不动点。
《数学》第三卷的第十八章专门讲拓扑学。这一章按照拓扑学发展的历史途径，先解释了一些常用曲面的拓扑性质，如定向与亏格等。然后作者介绍了早期的组合剖分方法，从中导出了组合拓扑学的基本概念：边缘、闭链和同调等，特别还讲到了曲面欧拉定理的推广——欧拉-庞加莱公式。接下来，作者用拓扑学的观点讲解了常微分方程的奇点和定性理论，以及流形上连续切向量场的奇点定理。该章虽然没有详细展开对于一般拓扑、同伦、同调群等拓扑学基础理论的介绍，但还是简单提及了相关的一些历史发展状况。
十一、泛函分析
早期泛函分析的一个主要思想来源是经典的变分法。在变分法中，“泛函”就是函数的函数。变分法的主要问题是：在一个函数集合中，求出使泛函达到极值的函数。此时，函数已经不是作为个别的对象来研究，而是作为函数集合（或函数空间）的一个“点”，这样就与几何学联系了起来，从而可以对整个一类函数的性质加以研究。
泛函分析的另一个思想来源是积分方程，数学家们从积分方程的理论中发展出了希尔伯特空间和线性算子的理论。希尔伯特空间是一种特殊的内积空间，它具有许多优良的性质，这使得它被应用到不少数学分支学科和物理学中。为了使积分方程理论普遍化，数学家巴拿赫进一步建立了比希尔伯特空间范围更广的巴拿赫空间（即完备赋范空间）的理论，巴拿赫空间包含了许多具体的函数空间，例如，闭区间 [ab] 上全体 p 次幂勒贝格可积函数的集合 L^p[a,b] 就可以构成一个巴拿赫空间（似乎整个实变函数论主要就是为了证明这一重要结论而作准备）。
泛函分析理论为各个分析学的分支学科的迅速发展奠定了坚实的理论基础，这些学科就包括了偏微分方程、调和分析、数值分析、数学物理等。目前大学水平的泛函分析课程主要包含的内容有：距离空间和赋范空间、有界线性算子与连续线性泛函、希尔伯特空间几何学初步、有界线性算子的谱。
《数学》的第三卷第十九章专门介绍了泛函分析这门课程中的一些基本想法。作者在这一章的第 1 节主要回顾了内积空间（即线性代数中的“欧氏空间”）的概念及其基本性质。第 2 节与第 3 节主要介绍希尔伯特空间的概念。如果在一个内积空间中，由其内积导致的范数用来作为距离，而构成的距离空间是完备的话，那么这个内积空间就是希尔伯特空间。作者所给出的希尔伯特空间的主要例子是勒贝格平方可积函数空间 L^2[a,b] ，这种无限维的函数空间很像 n 维的几何空间，它不仅具有由无穷个函数组成的标准正交基，而且可以像傅里叶级数展开那样，将此空间中的任何一个函数展开成这个标准正交基的线性组合。
第 4 节介绍了希尔伯特空间理论的主要思想来源——积分方程。作者先从物理学的角度详细给出了齐次积分方程：
（其中成立 k(x,y)=k(y,x) ）的产生过程，然后指出：这个方程对于 λ 的一系列 λi（i=1,2,…,n）值（书中称为“固有值”），存在各自对应的该积分方程的非零解 yi(x)（i=1,2,…,n）（书中称为“固有函数”），这些函数两两互相正交，从而可以用来构造希尔伯特空间的一个标准正交基。
在第 5 节中，作者主要介绍线性算子的概念和理论是怎样从积分方程的理论中发展出来的。由前面的（1）式中的记号 Af ，积分方程（2）可以写成为 f=λAf ，或者写成
因此，λ 就是线性变换 A 的特征值。这样，就可以运用线性代数中关于特征值问题的理论与方法。具体来说，由于有 k(x,y)=k(y,x) ，所以算子 A 是一个对称变换，这类算子在泛函分析中一般被称为自共轭算子（或自伴算子），它具有和线性代数中的主轴定理相类似的重要性质，这种性质与泛函分析中所说的“谱分解”有关。作者在书中着重强调了自共轭算子在物理学（特别是量子力学）中所起的关键作用。
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发表于 2022-5-14 23:39
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