M 是 AB 中点，DM=CM ，PD⊥AD，PC⊥BC ，PQ⊥AB ，求证：∠DQP=∠CQP

uk702

如图，M是AB中点，DM=CM，PD⊥AD，PC⊥BC，PQ⊥AB，求证：∠DQP=∠CQP。

uk702

请教各位达人，我用复数的方法硬算，代码很简单，算得

\( g = \frac{r^2 (-1+u^2) (-1+v^2)}{(u-v+r(-1+uv))^2} \)

其中 r 为任意实数，u、v 为两模为 1 的单位复数，现在的问题是，如何证明 g 是一个纯实数？

附代码如下：

1. 
   
2. ClearAll["Global`*"]; a = -1; b = 1;
   
3. pp = Solve[{(d - p)/(d - a) == -(( \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\))/( \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) - a)), (c - p)/(c - b) == -(( \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\))/( \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) - b))}, {p, \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)}]; (* PD\[UpTee]DA ，PC\[UpTee]CB *)
   
4. 
   
5. p = p /. pp;
   
6. \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) = \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) /. pp;   (* 取得 P 点的值 *)
   
7. 
   
8. qq = Solve[{q - p == -(q - \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\))}, {q}]; q =  q /. qq;  (* PQ\[UpTee]AB *)
   
9. 
   
10. g = Simplify[((d - q) (c - q))/(p - q)^2];  (* 若 \[Angle]DQP=\[Angle]CQP，则 g 为纯实数 *)
    
11. 
    
12. c = r u; \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = r /u; d = r v; \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = r /v;
    
13. Simplify[g]
    
14. 
    

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uk702

uk702 发表于 2022-5-19 21:10
请教各位达人，我用复数的方法硬算，代码很简单，算得

\( g = \frac{r^2 (-1+u^2) (-1+v^2)}{(u-v+r(-1+ ...

这是我能想到的一个（笨）方法，不知还有没有更简便的方法。

一般情况下，证明 \( g' = \frac{(-1+u^2) (-1+v^2)}{(u-v+r(-1+uv))^2} \) 是一个实数，可将分母乘以其共轭，并用 Mathematica 辅助化简。

将 \( (u^2-1)(v^2-1)(\overline{u}-\overline{v}+ r \overline{u} \overline{v} - r)^2 \) 展开，不断消项，最终证明它最终还是一个实数。

天山草

作三个辅助圆如图 2。按楼主的方法建立坐标系，即 M 为坐标系原点，A、B 点坐标分别为 -1 和 +1。以 M 为圆心以 R 为半径作圆 M。

在 MB 上取点 Q，令 Q 点坐标为 u，过 Q 作 AB 的垂线，在此垂线上取点 P 并令 P 点坐标为 u+v i。

过 AQP 和 BQP 作两个圆，它们与圆 M 交于 D 和 C 点。则此图符合题目的已知条件。

只要求出 D 点和 C 点的坐标就可以判断 ∠DQP 是否等于 ∠CQP。



程序运行结果：

shuxuestar

这个题，几何证明难不难？