【已解决】用铁板做一个体积为 2m^3 的有盖长方体水箱，当长、宽、高为多少时，才...

shuxuestar

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shuxuestar

试用几何平均不等式来证明和求解极小值

长方体体积V=abc; 1/V=1/abc  ( a,b,c>0)
面积S=2(ab+bc+ac)=2(V/c+V/a+V/b).

我们知道几何平均不等式：
(x+y+z)>=3*(xyz)^1/3
（x=y=z有极小值）

令:x=1/a,y=1/b,z=1/c  
(x,y,z与a,b,c存在一一对应关系,故可以更换)
长方体有等式：
1/V=xyz; S=2V(x+y+z).

据几何平均不等式得:
(x+y+z)min=3*(xyz)^1/3
=3*(1/V)^1/3 (且: x=y=z).
得:
x,y,z=(1/V)^1/3;
a,b,c=V^1/3.
S=2V(x+y+z)
=2V*3*(1/V)^1/3.
=6*V^2/3.
证毕.

当然，也可以用这个式子求解也一样.........
(1/a+1/b+1/c)>=3*(1/abc)^1/3
每一项是单独的自变量就符合这个算式，前提是均为正数.