地图对偶图Gn的LQD系列图表

晋源泉

地图对偶图Gn的LQD系列图表

顶点数n        最小度值        构建图               系列属性                                    说       明
1                  0                 1顶点                  有穷                                  顶点最小的度为0的图只有1幅。
2                  1                  2顶点                 有穷                                  顶点最小的度为1的图只有1幅。
3                  2                 3顶点                  有穷                                   顶点最小的度为2的图只有1幅。
n≥4          3                 4顶点                 无穷                                 在此图中逐一增加3度顶点得，
                                                                                             顶点最小的度为3的图有∞幅。
n≥6            4                  6顶点                无穷                                   在此图中逐一增加4度顶点，
                                                                                              得顶点最小的度为4的图有∞幅。
12                 5                  12顶点               有穷                                顶点的度全是5度的图只有1幅。
n≥14         5                 14顶点                无穷                                   在此图中逐一增加5度顶点得，
                                                                                                  顶点最小的度为5的图有∞幅。

一 地图的对偶图
地图M n 通过对偶变换所得的图G n 叫地图的对偶图，n 是地图的区域数或对偶图的顶点数，1 ≤n≤∞。
二  LQD系列图表
   按G n 图中含有的最小的顶点度进行分类的图表叫LQD系列图表。
三 按G n 图又分有穷和无穷两分类：
最小的顶点度值为0、1、2、5四个有穷系列分别称作0、1、2、5度有穷系列。最小的顶点度值为3、4、5三个无穷系列分别称作3、4、5度无穷系列。
四 地图的起源和地球面的裂变规律
地图的起源实际是由地球面的裂变产生的，裂变的规律是每一次裂变只能多裂变出一个面，其对偶图的顶点只增加1个。
1、原先地球只有一个面，此时地图的对偶图的顶点只有1个，最小的度为0。所以，顶点最小的度为0的构建图G1在LQD系列图只有1幅，是个有穷系列。
2、当地球的一个面裂变为二个面时，此时地图的对偶图的顶点只有2个，最小的度为1。所以，顶点最小的度为1的构建图G2在LQD系列图只有1幅，是个有穷系列。
3、当地球的一个面裂变为三个面时，此时地图的对偶图的顶点只有3个，最小的度为2。所以，顶点最小的度为1的构建图G3在LQD系列图只有1幅，是个有穷系列。
4、当地球的一个面裂变为大于等于四个面时，此时地图的对偶图的顶点最少有4个，最小的度为3。如果，在往后的每一次裂变增加的都是3度的顶点，完全是可以裂变到无穷次的。所以，顶点最小的度为3的构建图在LQD系列图Gn是顶点数n≥4的有∞幅，是个无穷系列。
增加3度的顶点的方法：在对偶图中的任意一面或线上加一顶点并极大化，此顶点必须是3度的顶点。
5、 当地球的一个面裂变为大于等于六个面时，此时地图的对偶图的顶点最少有6个，最小的度为4。如果在往后的每一次裂变增加的都是4度的顶点，完全是可以裂变到无穷次的。所以，顶点最小的度为4的构建图在LQD系列图Gn是顶点数n≥6的有∞幅，是个无穷系列。
增加4度的顶点的方法：在对偶图中的任意一线上加一顶点并极大化，此顶点是4度的顶点。
6、当地球的一个面裂变为十二个面时，此时地图的对偶图的顶点有12个，所有顶点的度为5。所以，顶点度全是5度的构建图G12在LQD系列图是顶点数n=12的只有1幅，是个有穷系列。
7、当地球的一个面裂变为大于等于十四个面时，此时地图的对偶图的顶点最少有14个，最小的度为5。如果在往后的每一次裂变增加的都是5度的顶点，完全是可以裂变到无穷次的。所以，顶点最小的度为5的构建图Gn在LQD系列图是顶点数n≥14的有∞幅，是个无穷系列。
增加5度的顶点的方法：在对偶图中的任意一个6度顶点上去掉两条相邻线，在去掉两条相邻线的面上加一顶点并极大化，此顶点是5度的顶点。
五 求证四色问题的构形
对无穷多的任何平面图着色时，总是要经常发生一个着色困局，就是最后才着色的一个顶点周围已着了4种颜色，这个顶点叫待着色顶点。把含有一个待着色顶点的平面图就叫做“构形”， 待着色顶点的度也叫构形的度。构形的度虽然可以是无穷大的，但任何平面图中总存在着至少有一个小于等于5度的顶点，在着色时总可以把待着色顶点的度确定为小于等于5。用小于等于5度的有限构形替代大于等于6度的无穷构形，就把一个大于等于6度的无穷多的问题转化成了一个相对有限的问题了。把小于等于5度的构形的集合就叫做平面图的不可避免构形集。
在不可避免构形集中，小于等于3度的构形不存在。所以，LQD系列图表中的0、1、2、3度系列没有构形，只有4、5度系列有构形。而且，5度系列G12 是有限系列。因此，所谓的求证四色问题的构形只有顶点的最小度分别是4、5的两类无穷系列构形G n。一类是构形中顶点的最小度是4的4度无穷系列构形G n ， n≥6；另一类是构形中顶点的最小度是5的5度无穷系列构形G n ， n≥14 。