ΔABC 中，∠A=90°，∠B,∠C 平分线 BE,CD 交于 F ，求证：BF×CF／(BE×CD)=1／2

王守恩

\(△ABC,∠A=90^\circ,BE(E属于AC)为∠B平分线,CD(D属于AB)为∠C平分线,\)

\(F为BE,CD交点,求证:\frac{BF*CF}{BE*CD}=\frac{1}{2}\)

天山草

波斯猫猫

题：在 ΔABC 中，∠A=90°，∠B,∠C 平分线 BE,CD 交于 F ，求证：BF×CF／(BE×CD)=1／2。

思路：设∠CBE=α，∠BCD=β，OB=r，由正弦定理

在 ΔBCF 中，有 BF/sinβ=CF/sinα=2r/sin135°=2√2r，

在 ΔBCE 中，有 BE/sin2β=2r/sin(α+90°)=2r/cosα，

在 ΔBCD 中，有 CD/sin2α=2r/cosβ。故 BF×CF/(BE×CD)=8r.rsinαsinβ/(16r.rsinαsinβ)=1/2。

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。

王守恩

波斯猫猫 发表于 2022-6-3 22:38
题：在 ΔABC 中，∠A=90°，∠B,∠C 平分线 BE,CD 交于 F ，求证：BF×CF／(BE×CD)=1／2。

思路：设∠ ...

\(\frac{BF*CF}{BE*CD}=\frac{三角形BCF面积}{四边形BCED面积}=\frac{1}{2}\)

kanyikan