物理定律的对称性和简单性与希格斯玻色子（下）

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物理定律的对称性和简单性与希格斯玻色子（下）

译者们征得马尔达西那的同意之后，翻译了他的一篇科普文章 “The symmetry and simplicity of the laws of physics and the Higgs boson” (arXiv:1410.6753)。由于篇幅较长，我们将分两次进行推送，本次是第二部分。第一部分请转至：物理定律的对称性和简单性与希格斯玻色子（上）

撰文 | 胡安·马尔达西那（Juan Maldacena）（阿根廷理论物理学家，普林斯顿高等研究院教授）

翻译 | 郭圆宏（中科院理论物理研究所 2021 博士研究生）、张思源（中科院理论物理研究所 2019 级博士研究生）

3  希格斯机制

下面我们进一步用经济学类比来解释希格斯机制。到目前为止，都是假设只允许投机者携带钱穿行于国家之间，现在，增加一点儿这个经济模型的复杂性，允许投机者携带金子。于是，投机者在不同的国家之间旅行时，既可以买卖黄金，也可以换汇。还可以假设，金子在每个国家都有一个价格，这个价格由每个国家的居民独立决定。一个聪明的投机者会意识到，新的盈利机会出现了！你现在可以在一个国家买金子，然后把黄金带到邻国卖掉，再回到原来的国家把钱换回来。举个例子，假设比索和美元之间的汇率是 4 比索= 1 美元。并且金价在阿根廷和美国分别是每盎司 40 比索和 5 美元。那你现在要做什么呢？再重复一遍，金价和汇率如下：

4 比索 = 1 美元，

1 盎司 = 40 比索，

1 盎司 = 5 美元。

你可以先思考一下，心里有答案了再接着往下读，这个问题值得挑战！聪明的读者也许已经猜到，可以在美国先用 5 美元买 1 盎司的金子，然后去阿根廷把这些金子以 40 比索卖掉，最后回到美国把 40 比索在桥上换成 10 美元。这个过程会产生 100% 的收益率，如图 11 所示。注意，前文中提到的“规范对称性”依然存在，如果阿根廷政府现在换新的货币，利润并不会改变。那么就可以通过改变每个国家的货币单位，使得金价在所有国家都一样。例如，我们可以将这些新的货币单位分别称为新比索和新美元，并且使金价分别为每盎司 1 新比索和 1 新美元。这个时候，新比索和新美元的汇率可不一定是 1:1 。事实上，如果一开始投机者就有利可图，那新的汇率就不可能是 1:1 。以图 11 中的例子来说，新的汇率是 1 新比索 = 2 新美元。需要指出的是，这个经济模型并不是通过“金本位制”去掉了所有的汇率，汇率仍然存在。

总结一下，现在新的金价和汇率如下：

1 新比索 = 2 新美元，

1 盎司 = 1新比索，

1 盎司 = 1 新美元。

如果你是个投机者，现在就更清楚你要怎么做了对么？通过将金价设置成 1 ，我们得到了新的货币单位，在此基础上立刻就能看出哪些新的汇率不是 1:1 ，于是就能发现利用倒卖金子和换汇的回路来投机获利的机会，并且投机行为仍将产生 100% 的收益率，和通常一样，净收入并不随货币单位变化而变化。



图 11 ：两个具有不同黄金价格的国家，和他们之间的汇率。在这种情况下，只要在美国用美元购买黄金，然后把黄金带到阿根廷出售得到比索，最后把比索带回美国在银行兑换美元，就有可能赚到钱。净收益率为 2 ，或者说能赚到本金的 100% 。黄金用黄色表示，货币用绿色表示。

这个经济模型的一个崭新的、并且非常重要的特征是，不断增大这个系统中波的波长不会再像之前那样使得投机者的获利减小到无利可图。原因是，此时要想获利只需查看单一桥的信息（桥上汇率和它所连两个国家的金价），而非两座相邻桥的信息。一旦我们把金价在所有地方都设置成 1 ，那么任何重新定义后的新汇率不是 1:1 的地方都有获利机会。用更物理的语言表述，这意味着想激发任何一个新汇率不是 1:1 的波，不论其波长多长，都需要消耗能量。在物理中，这就意味着，这个波所对应的粒子是一个有质量粒子，或者说有质量光子（以电磁波为例）。这样的机制存在于超导体中，并且也启发人们提出了希格斯机制。

物理学家们想到，类似的机制可以用来解释传递弱相互作用的粒子为何具有质量。不同于金子，此时每个国家，或者说每个时空点上，都有一个可以用来给物体定向的弱球，它们总体被称为希格斯场。然后，可以让投机者携带的物体在每个地方（每个国家）都有相同的定向，而这类似于在每个国家通过改变货币单位把金价定成 1 。当然，这里仍然存在“弱汇率”，它们会告诉我们，从一个国家到另一个国家，我们要怎样旋转带过去的“钱”。在利用金价重新定义货币单位后，如果携带的“钱”在跨国时完全不需要做任何旋转操作，那么这时候就是零利润情形，此时所有重新定义后的“弱汇率”都是 1:1 。此时只要激发了一个波，使得重新定义后的“弱汇率”在相邻时空点之间变得不再是 1:1 ，即使这个波的波长很长，投机者也仍然有获利空间。这一特征表明，这样的波相应的粒子也必须是有质量的。就这样，英雄的希格斯场拯救了美丽的女人，因为它避免了无质量粒子的出现，因此就可以用规范对称性来解释弱相互作用了。

3.1 对于过度简化的致歉

前面的讨论做了一点过度简化，可能让细心的读者感到困惑。通过前文，大家现在已经有了一个印象，利用规范对称性来描述电磁相互作用和弱相互作用，需要分别用到圆对称性和球对称性。不过在自然界中，传递弱相互作用的图片玻色子是带电的，一个带电粒子在电磁规范变换（类似调整货币单位的操作）下将发生改变，因此想要它们带电，就必须保证电磁相互作用的圆和弱相互作用的球不完全独立。事实上，尽管我们是分别从一个圆和一个球的对称性入手的，但其实真实的电磁相互作用的对称性对应于一个在圆上和球上的组合旋转。因此，做“电磁规范变换”会产生一个弱球上的旋转，这可以使得 W± 玻色子变成带电粒子。类似地，后面我们还会看到，带有不同电荷的电子和中微子其实是同一种粒子，只不过它们在弱球上的旋转方式不同。中微子（neutrino），正像它的名字中暗示的，它是中性的（neutral），或者说是不带电的，而电子却是带电的。这是因为“电磁规范变换”包含一个在弱球上的旋转，实际上二者在弱球上不同的旋转方式就对应着不同的电荷。如上所述，这个把电磁力和弱力统一在一起的理论被称为电弱统一理论。

对于保证每个细节都是对的，这其实是很重要的一点，但在后面的讨论中我们将暂时忽略这一点。

4  量子力学

到目前为止，我们利用经济学类比所描述的整个系统更正式的名称是经典场论。场是一个定义在时空中每个点的量。例如，金价是一个场，在时空中每个点上有一个特定值。类似的，汇率也是一个场，对每个给定时空点都有一个汇率。并且还可以说一个国家有多少个邻国正比于时空维数。

不过在物理中这并不是全部的故事。这些场的演化方式会被量子力学定律所约束，其中很重要的一个特征是场是依概率分布的。你可能会觉得在真空中所有场都应该是零，然而事实并非如此，这些场实际上将随机取值，最多只能给出这些取值的概率分布。在经济学类比中，这意味着汇率和金价都是随机的，不过这个随机性遵循一个非常准确的规则，而这个规则就藏在概率分布的准确形式中。在此不会给出确切的公式，但值得指出，这一公式会导致获利越高的汇率或者金价分布就越难出现。实际上，有一个关于各种分布可能性的准确规则，但它不能准确预测当我们观测这个系统时，哪种可能分布一定会出现。

要注意的是所有这些扰动都只在小尺度发生。如果走一个足够大回路，就会路过很多很多国家，然后它们的汇率波动会彼此抵消。这表明在真空中足够长的距离下这些场平均为 0 ，我们便回到了所有场都为 0 的经典结果。

通过激发一个波来获得更大收益率的汇率分布的可能性，依然和上面提到的能量消耗相关。和前面的情形本质上还是一致的，汇率分布对应的能量越高它就越难出现。在自然界中，传递弱相互作用力的粒子是 W+ ，W- ，Z 玻色子，它们的质量非常大，要比质子质量重差不多一百倍。这个质量对基本粒子来说是很重的了，这么大的质量解释了弱相互作用为什么如此微弱。并且质量越大意味着越难产生“弱汇率”的扰动，因此，像中微子这样只参与弱相互作用的粒子会非常难被看到。事实上，有一定比例的太阳能量会通过中微子辐射出来，然而我们却丝毫没有察觉到这些中微子。它们每时每刻都在穿过我们，但我们就是看不到它们，你只有利用装备着非常敏锐的电子设备的庞大的探测器，才能看到它们中很小的一部分。

4.1 连续性极限和希格斯粒子

上述机制确实说明了为什么弱相互作用媒介粒子是有质量的，但它还没有解释为什么还需要一个新的物理粒子——希格斯玻色子。让我们通过经济学类比来解释这一点。在前文提到可以通过货币单位的变换（规范变换）来把每个地方的金价都设置成 1 ，而在做到这一点之后，就只有汇率是唯一的表征量。在物理中，这意味着存在一个有质量粒子（自旋为 1 ），但并不会导致其它粒子的存在。在经典物理中，这样的理论是完全自恰的，并不需要引入额外的粒子。然而，一旦考虑量子力学效应，情况将大为不同，特别是弱相互作用的情形。

当我们按照图 8 的方式考虑量子力学版本的连续性极限，事情就变得很微妙了。更细致的分析会揭示出，一个不引入额外场的理论，在国家间距离趋于 0 的过程中，传递弱相互作用的媒介粒子的质量不是不变的。在量子理论中，它们的质量会在连续性极限下趋于无穷大。正是因为这个原因，大家才期待大型强子对撞机（LHC）能发现新的粒子，而最简单的可能性是理论只引入一个新粒子，即希格斯玻色子。

对应到经济学类比，新粒子可以当做进一步允许在国家之间旅行可以携带多种货物，比如说银子，像金子一样，每个国家的居民也可以独立地规定它的价格。在每个国家中金银价格的比值将不依赖于货币单位，也就是说这个比值是规范不变的。如果 1 盎司的金子值 2000 比索，1 盎司的银子值 1000 比索，那么就可以说金子比银子贵 1 倍。如果我们把货币按照图 5 换成新比索，此时金子的价格是 2 新比索，银子的价格是 1 新比索，并且金子仍然比银子贵 1 倍。因此，在这种情况下，每个国家都有一个不依赖于货币单位选取的量。在物理中，可以把这个具有规范不变性的量视作一个给出真实粒子的场，实际上这就是希格斯玻色子！要注意，如果我们只有金子，金价也是一个在每个国家都有定义的量，但这个量将会依赖于货币单位的选取，而依赖货币单位的量并不反应真实的获利机会。在物理中，依赖于规范变换的量不是可观测量。事实上，正如前文提到，可以通过规范变换（货币单位变换）让金价处处一样。如果仅仅把在每个国家的金价当成一个物理场，那么这个场就可以通过规范变换消失不见（可以认为这样的场不具有物理意义）。但是，如果每个国家同时存在金价和银价，我们就可以将它俩的比值对应成一个满足规范不变性的物理场。

额外增加一个场是最简单的假设，而这预言了一个新粒子。这个粒子确实在 2012 年通过大型强子对撞机被找到了！

尽管我们不打算给出这些概念的发展历史，但我们还是想做一些关于历史的评论。杨振宁和米尔斯发现杨-米尔斯理论最初是为了描述介子，然而现在却用它来描述弱相互作用和强相互作用。一个好的想法可能对它原始的目标不是很奏效，却可能对别的问题很有用，杨-米尔斯理论就是一个很好的例子。描述规范场的数学这个理论提出之前就已经被数学家发现了，他们把这些结构称为纤维丛。温伯格（S. Weinberg）受到许多早期的实验和部分理论结果的启发，首先提出了电弱相互作用理论，而这其中格拉肖（Sheldon L. Glashow）和萨拉姆（A. Salam）也有很大贡献。之后的实验证实了这一理论，并排除了许多其它的替代性方案。目前粒子物理中最重要的实验正在欧洲大型强子对撞机上运行着。

我们还要意识到物理系统相对经济系统的简单性。在经济系统中，除了金银之外还有非常多的东西都可以用来进行交易，也可以同时在多个国家之间开展贸易。但在物理系统中，我们只允许和邻国进行金银贸易。值得一提的是，温伯格的文章只有区区三页，但这里我们已经用了非常多页，还仅仅只是做了一个仍不十分准确的解释，这也是公式推导十分有效的一个例子。人们常说，一图胜千言。要我说，一公式胜万图！


图 12 ：左边是阿特拉斯擎着“天球”；而右边则是一组球体，其对称性决定了弱力。古人只在每颗行星上有几个球体，在某种意义上，现在的我们每个时空点有一个球体。

大型强子对撞机上有一个被称为阿特拉斯（Atlas）的探测器。图 12 中我们可以看到，神话中的阿特拉斯在擎着“天球”（celestial sphere）。当你看着这幅画时你很可能在想：哦！希腊人多幼稚啊！而现在，以最先进的观点来看世界，每个时空点上都有一个“球”（sphere）！所以球的数量增加了好多是吧？不过，这个结构是被一个简单的对称性决定的。弱球是很简单的，而阿特拉斯探测器也正深入地探测着这个弱球，揭示着它的秘密。

5  其它粒子的质量

我们常说希格斯场为所有基本粒子赋予质量。然而如果仅从之前的讨论出发，无论是否引入希格斯场，我们都可以为光子以外的其它构成物质的粒子（比如电子）加上质量的属性。之所以我们需要让希格斯来完成这一使命（赋予电子质量），原因和弱相互作用具有的一种奇异的性质有关。为此我们需要引入基本粒子的更多细节，比如电子具有“自旋”这个事实，才能解释清楚这种奇异的性质。



图 13 ：电磁波两种偏振态的示意图。在两图中，电磁波沿着向右的箭头传播，旋转的小箭头表示电场强度在某一瞬间的方向。上图表示一个左手螺旋的圆偏振光，下图是右手螺旋的圆偏振光。

你可能已经对光的偏振性有所了解，光有两种偏振状态（译注：偏振和极化是同一个概念（polarization）在中文中的两种常见的表述，这里我们按照习惯，描述光时称偏振，描述其他粒子时称极化）。举个例子，“偏光太阳镜”就是用来遮挡由反射产生的带有偏振的眩光的。为了方便，这里我们只考虑“圆偏振”的光。图 13 展示了左旋和右旋两种偏振的电磁波，这些电磁波带有沿着传播方向的自旋角动量。光具有偏振这一事实可以与经济学模型中一个国家与其邻国的汇率联系起来，注意到所有国家都在网格上，每一个国家在任意方向上都有一个邻国。比如在图 10 中，波向右传播，而投机者可以在垂直于波的方向上旅行，在这个过程中汇率会不断变化。

电子和中微子像光一样具有极化性质，这来源于它们也有自旋角动量，在这里你可以简单地理解成，它们自身有着某种程度的旋转。当这些粒子移动的时候，可以根据它们移动的方向，来定义它们的自旋角动量是“左手的”还是“右手的”（如同描述光的圆偏振性时一样），粒子物理学中称之为“手征性”。对于静止不动的粒子来说，不存在一个特殊的方向来定义它的手征性，此时它自身的自旋角动量可以指向任何一个方向，因为静止的粒子在真空中具有旋转对称性。

无质量粒子和有质量粒子具有不同的手征性质。比如想象一个向上运动的右手有质量粒子，在以快于它的速度向上移动的参考系里，这个粒子就变成了向下运动，而此时自旋角动量方向保持不变，于是在这个参考系里它就变成了一个左手的粒子。也就是说，可以通过参考系的变换改变有质量粒子的手征性。而一个没有质量的粒子无法处于静止不动状态，它永远在以光速运动着，并且观察者也不可能以比它还快的速度运动来反转它的运动方向。于是，如果观测到一个右手无质量粒子，那么在任何一个参考系中它都将是右手的。因此，对于无质量粒子来说，手征性（即它的自旋相对于运动速度的方向）是其极化状态的基本属性。这也是“相对性原理”的要求，物理学定律应当与参考系的选取无关。

知道了这一结论，就可以聊聊弱相互作用的奇异性质了：弱相互作用对于左手和右手粒子来说是不同的，只有左手粒子会参与弱相互作用。这是一个非常令人意外的性质，因为它表明弱相互作用破坏了反射对称性。反射对称性是一种在镜子的反射后保持相同物理规律的性质。想象一下我们通过一面镜子观察世界，镜中世界的物理定律和镜子之外是一致的吗？如果根据日常经验来判断，我们会天真地认为答案应该是肯定的，很难区分镜中和镜外的世界。虽然你可以很轻易地辨别出纸面上的文字在镜子中的样子，但这是因为人们已经约定了相同的书写方式。这里的关键问题在于，物理学的基本规律在反射前后是否一致。关于反射的一个重要属性是，一个旋转的粒子在反射变换之后，旋转方向会与原先相反，如图 14 所示。因此，既然弱相互作用对于左手粒子和右手粒子是不同的，它就可以用来辨别真实的世界和镜中反射的世界。在之前的讨论中已经介绍了物理学规律具有的一些奇妙的对称性，现在却遇到了基本定律所不具有的对称性的例子！自然定律拥有一些不常见的旋转对称性，却又缺失了很常见的反射对称性。


图 14 ：如果橘子沿着箭头的方向旋转，那么镜中的橘子会沿着镜中箭头的方向旋转：镜中的旋转方向和真实世界中的旋转方向是相反的。橘子当然可以沿任意的方向旋转，然而如果我们把橘子换成一个向上运动的中微子，那么它的镜像将会是一个看起来不应该真实存在的粒子。

在“弱球”上，左手电子和右手中微子基本上就是同一种粒子，只是它们的运动方向不同。这意味着在弱相互作用下，左手电子和右手中微子可以相互转化。而右手电子则感受不到弱相互作用，我们不知道相应的左手中微子是否存在，实际上它也不必真的存在。并且，这两种左右手粒子截然不同的差别只在它们都以光速运动的时候才可能出现。

然而，电子是有质量的粒子，这一点完全得益于它和希格斯场的相互作用。实际上必须人为地引入这种新的相互作用，才能使理论和实验结果相符。在这种相互作用下，一个以低于光速运动的电子，会仿佛产生了自我认同危机：它一会儿是个左手电子，一会儿又是个向着相反方向运动的右手电子，和希格斯场的相互作用使它在两个形态间相互转化，总体看起来它就是在以比光速慢的速度运动着，此时可以认为电子获得了质量。


图 15 ：(a) 中展示了无质量的左手和右手电子，黑色箭头表示电子的自旋方向，它的手征性取决于其自旋方向和运动方向的相对关系，这里两条蓝线表示左手电子，它们的运动方向和自旋方向相反。(b) 中展示了一个“有质量”的电子，在希格斯场的作用下，它在左手和右手状态间反复转换。

夸克是构成质子和中子的基本粒子，它也通过同样的机制获得质量。除了电子、中微子和夸克以外还有一些更重的基本粒子，这些粒子都不怎么稳定，它们会在很短的时间内通过弱相互作用衰变。所有这些基本粒子的质量都是通过与希格斯场相互作用获得的，相互作用的强度越强，粒子的质量就越大。有趣的是，不同粒子与希格斯场的相互作用强度有着天壤之别：例如顶夸克的质量是电子质量的三十万倍！中微子也是通过这种方式获得质量的，但其中包含了一些更复杂的细节，我们对它的理解也还不是很透彻。

尽管绝大多数的基本粒子都是通过希格斯场获得质量，可我们日常生活中的物体的绝大部分质量并非来源于此！事实上，物体的大部分质量来自于原子核中质子和中子质量的总和。质子和中子是复合粒子而非基本粒子，它们由一些急速运动着的夸克组成，而质量就来源于这些夸克在运动时的能量（还记得吧）。当然，希格斯场对我们世界的微观性质仍然至关重要。举个例子：电子和希格斯场的相互作用决定了电子的质量，而电子的质量跟原子大小成反比，电子越轻，原子就越大。所以说，通过改变希格斯场的强度来减轻基本粒子的质量可不是一个减肥的好主意，且不说改变希格斯场的强度有多么困难，即便真的有人做到了，也不会明显的改变他整个人的质量（宏观物质的大部分质量并不是由基本粒子贡献的），只会使他的体形变得更大（原子变大了）！

既然希格斯场在理论物理中有这么多好处，为什么我们还说它“丑陋”呢？其中一个原因是，它是自然界中一个不基于规范对称性的全新的相互作用。而另一个更现实的原因是，标准模型中大部分无法通过理论预测的参数都与基本粒子和希格斯场的相互作用有关，这些参数的取值范围横跨了好几个数量级。相比之下，三种规范相互作用（强、弱和电磁相互作用）的强度在能量较高的时候是比较接近的。最后也是最令人困惑的一点是，究竟是什么物理机制决定了希格斯质量的大小，以及与之相关的其他基本粒子的质量。此外，希格斯粒子的质量标度远小于决定引力强度的质量尺度。在先前的经济学模型中提到，当国家之间的距离远小于我们可以测量的最短距离时，连续性极限就出现了：这些国家可以视为一个连续体。在一个没有万有引力的世界里，这个距离可以要多小就有多小。可现实世界具有万有引力，爱因斯坦的引力理论认为时空是动态的，而量子力学则进一步认为时空是涨落的，在经济学模型中时空就是国家构成的网格，而涨落则意味着国家可以任意交换邻国，新的国家也可以随时出现和消失等等。在现实世界中，这种时空的涨落发生在一个非常小的尺度下——比我们现有的最强的显微镜——大型强子对撞机——能测量的最短距离还要小 10^n 倍。为什么发生弱相互作用现象的尺度比量子引力的尺度大了如此之多？我们还不知道这个问题的答案。不过，存在着一些新颖的理论可以解释标准模型的这些奇异特性，它们大多数都假设了新粒子的存在。我们期待着，或许，这些新粒子将在大型强子对撞机中被发现。

至此，我们还没有讨论强相互作用，它是一种将夸克结合在一起，构成质子和中子的规范相互作用。为了回应泡利的反对，它使用了另一种本质上是量子力学的机制（译注：“泡利的反对”指在杨振宁的一次关于规范场论的报告中，泡利指出这个理论很漂亮但没有什么用，因为没有观测到除光子以外的无质量矢量粒子，这个问题是通过诸如“渐进自由”等量子力学效应解决的）。

在文章结束之前要提一下，我们已经有了一些新粒子存在的强有力的证据。天文学观测发现，宇宙中存在的物质的质量实际远多于已知的物质的质量，这些多出来的未知物质被称为“暗物质”。一个很有希望的暗物质粒子“候选者”是一种被弱相互作用支配的新粒子，它被称为“弱相互作用大质量粒子” (WIMP, Weakly Interacting Massive Particles)。这种粒子的宇宙学丰度和实验观测相符，而且其他一些试图解释标准模型谜题的理论也很自然地预测了这种粒子的存在。当然，也可能最终发现暗物质与弱相互作用无关。

希望对物理有更完整的理解后，我们会发现希格斯场这个标准模型中丑陋的一份子，会变成一个英俊的王子，或至少成为英俊王子的一部分，就像童话故事里讲的那样，然后他们便从此过上幸福的生活……至少直到宇宙衰变之前。

（全文完。）

本文转载自微信公众号“中国科学院理论物理研究所”。

英文链接：https://inspirehep.net/literature/1323628