三个小等圆，一个大圆，一个直角！思路在哪里？如何突破

王守恩

dodonaomikiki 发表于 2022-6-14 22:58
一个外佬的制作

\(记小圆半径=1\ \ \ \ 大圆半径=R\ \ \ \ ∠B=2\theta\ \ \ \csc(\theta)=\frac{R}{R-2}\ \ \ \ 化简可得\)

\(\displaystyle 28 R^5 + 40 (4 + \sqrt{R - 1}) R^3 + 16 (1 - 3 \sqrt{R - 1}) R^2 = (139 + 12 \sqrt {R - 1}) R^4 + 64\)

\(解得R=3.6248096865212187969\ \ \ \ \theta=0.46480320693925896618\)

王守恩

主帖还是有实用价值。
\(回到主帖，运用毕达哥拉斯，可列出(1),(2)，在这里，HC=5+x，∠B=2\theta\)

\((5+x)^2=(5-2x-x)^2+\big(\frac{10\cos(\theta)\sin(90^\circ)}{\cos(2\theta)}-5\cos(\theta)-\frac{x\cos(45^\circ-\theta)}{\sin(45^\circ-\theta)}\big)^2\ \ \ \ (1)\)

\((5+x)^2=(5\cos(\theta)-x)^2+\big(\frac{10\cos(\theta)\sin(2\theta)}{\cos(2\theta)}-5\sin(\theta)-\frac{x\cos(45^\circ-\theta)}{\sin(45^\circ-\theta)}\big)^2\ \ \ \ (2)\)

\(对(1),(2),化简可得，其中：\displaystyle\frac{1}{\sin(\theta)}=\frac{5}{5-2x}\)

\(64x^5+625(139-8\sqrt{5x-x^2})x+7500\sqrt{5x-x^2}=400x^3+400(50-3\sqrt{5x-x^2})x^2+87500\)

\(\theta=0.46480320693925896618, x=1.3793827627950781678\)

dodonaomikiki

非常感谢王守恩老师！

可能是太繁琐啦，比较细腻，比较细枝末节这个题目
搞得我有点害怕，
不管从计算量以及切入口

dodonaomikiki

这里【内部 】 隐藏着两个直角三角形


真是深藏不露啊！


难怪我无从下手~~~~~这两个直角三角形运用得好，
简直就是傻手锏OH  YEAH
找到直角，运用勾股即是