已知 ai＞0 ，a1+a2+…+an=1 ，证明不等式 a1^2／(a1+a2)+…+an^2／(an+a1)≥1／2

luyuanhong

这是网友 Nicolas2050 在《数学中国》论坛上发表的一个帖子：

波斯猫猫

题：已知 ai＞0 ，a1+a2+…+an=1 ，证明不等式 a1^2／(a1+a2)+…+an^2／(an+a1)≥1／2 。

思路：考虑用柯西不等式。因ai＞0 ，a1+a2+…+an=1 ，所以

2[a1^2／(a1+a2)+…+an^2／(an+a1)]

=[√(a1+a2)^2+√(a2+a3)^2…+an)+√(an+a1)^2][a1^2／(a1+a2)+…+an^2／(an+a1)]

≥(√a1^2+√a2^2+…+^2an^2)^2=(a1+a2+…+an)^2=1，

即a1^2／(a1+a2)+…+an^2／(an+a1)≥1／2 。

Nicolas2050

证明：
准备知识：Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式；


因为：ai＞0，所以有：
1，√ai^2=ai；
2，(√(an-1+an) ^2) = an-1+an=(√(an-1+an) ) ^2，这是保证开根号不变正负性。

已知a1+a2+…+an=1 ，所以有[√(a1+a2)^2+√(a2+a3)^2…+an)+√(an+a1)^2]=2[a1+a2+…+an]=2.
所以:
2[a1^2/(a1+a2)+…+an^2/(an+a1)]=
[√(a1+a2)^2+√(a2+a3)^2…+√(an-1+an)^2+√(an+a1)^2][a1^2/(a1+a2)+…+an-1^2/(an-1+an)+an^2/(an+a1)]
≥[(√a1)^2+(√a2)^2+…+ (√an -1)^2+(√an^2)]^2=(a1+a2+…+an)^2=1，

即a1^2／(a1+a2)+…+an^2／(an+a1)≥1/2 。得证。
                                                                        #Q.E.D

Nicolas2050

Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式一般情形的证明方法

Approach:构造一个二次多项式方程，满足这个不等式，方程只有一个解或无解（实数）。从而利用判别式来证明之。

luyuanhong

楼上 Nicolas2050 的帖子和波斯猫猫 的解答很好！已收藏。