四色问题讲座：第二讲 地理问题转化成数学问题

雷明85639720

四色问题讲座：第二讲  地理问题转化成数学问题
雷  明
用数学的眼光看，地图就是图论中的一种“图”。即是无割边的3—正则平面图。地图也是由一些“顶点”（小园点）和顶点与顶点间的“连线”（边）的组合，是符合图的定义的。3—正则的平面图中各个顶点都只连有3条边。给地图中面的染色也就相当于对3—正则平面图的对偶图——极大平面图（各面都是三边形面）——的顶点着色。这就把一个地理学中的问题转化成了一个数学问题了。“对偶图”是一种图值函数，与“边图”（线图），“全图”一样，都是一种图值函数。对偶图即是把原图的面作为新的顶点，把原图中相邻的面所对应的新顶点，再用新的边相连所得到的新图，就是原图的对偶图。无割边的3—正则平面图与极大平面图是一对互为对偶的平面图。
因为地图中的顶点都连有3条边界线，所以我们叫它“三界点”。在这个顶点周围一个小范围内，就是人们以往常说的“三不管地区”和“山高皇帝远”的地方。
显然，研究极大平面图的顶点着色，要比研究地图的面的染色是要方便的，也容易一些。这样以来，只要极大平面图的四色猜测被证明是正确的，地图的四色猜测也就是正确的了；同时，极大平面图经“去顶”或“减边”运算，或两种运算同时进行时，所得到的非极大的任意平面图的四色猜测也就是正确的。这是因为已经可4—着色的极大平面图，经去顶或减边运算后所得到的图的色数只会减少而不会再增加。所以说，只要极大平面图的四色问题解决了，四色问题也就解决了。

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