四色问题讲座：第十讲 无环形链的H—构形有限次转型的上界值

雷明85639720

四色问题讲座：第十讲  无环形链的H—构形有限次转型的上界值
雷  明
到上一讲为止，可以说四色猜测就已经得到证明是正确的了，因为我们已经证明了各类不可避免的构形在各种情况下，都是可约的了。但对于图4的无环形链的H—构形在施行逆时针方向转型时，却没有转化成有环形链的构形，而是在有限的四次连续转型后，直接转化成了可以连续的移去两个同色的可约的K—构形。是不是还有需要比四次更多次连续转型的构形呢？这个“有限”次转型的上界值是多少呢？还不能确定。因为无上界值的有限次也可以认为是无限次。这样，不就等于四色猜测还没有被证明是否是正确的吗？本讲就来专门的谈论这个向题。
图25是1921年埃雷拉所构造的埃雷拉E—图（该图原图是不画出待着色顶点的画法，我给其增加了待着色顶点，所以就成了待着色顶点画在图最外边的画法，与本文前面各图的待着色顶点画在图内部的画法有所不同）。

这个图是一个有双环交叉链的，并且有环形链A—B的BAB型的H—构形，是可以通过断链法解决问题的，是一个可约的构形。但该图在进行转型时，却是一个以20次转型为周期的无穷周期循环转型的构形，永远也是解决不了问题的。与E—图不同的图也是有无穷多的，不可能通过具体转型的方法去验证每一个非E—图构形都是有限次转型的，也不可能说非E—图的构形中就再也没有无穷周期循环转型的构形了。这就只能借用“原命题的逆否命题与其原命题同真同假”的逻辑推理关系来进行判断了。
在这里的原命题是“E—图是无穷周期循环转型的构形”，且是真的。其逆否命题是“不是无穷周期循环转型的构型不是E—图构形”，即非E—图构形一定是有限次转型的构形。原命题是真的，其逆否命题也就是真的了。这就从理论上证明了无环形链的H—构形的转型次数是“有限的”结论是正确的。
因为“无上界”的“有限”实际上就是“无穷”或“无限”，所以这个“有限次”的上界值是多少，也需要确定。E—图转型的循环周期有三个：第一个是构形的类型在BAB、DCD、ABA、CDC四种类型间的转型周期是4；第二个是峰点位置的转型周期是5。因为该构形有5个围栏顶点，各个围栏顶点都做一次峰点时，就是5次转型；第三个是构型的类型和峰点位置同时返回至原来的类型和位置时的周期是4×5＝20。E—图每转型20次，就又返回到了原来的E—图。
已知无环形链的H—构形是属于非E—图的构形，也就一定不是无穷周期循环转型的构形（即既不是无穷周期循环转型的构形，也不是无穷不循环转型的构形）。
从E—图构形转型中可以看出，光是把第一个循环周期完成了，只进入了第二个循环周期还是不行的，还必须再看第二个循环周期能否完成（即能否进入第三个循环周期）。第二个循环周期是否能够完成，是一个很关键的地方。完成了，才能确定转型是产生了周期循环；完成不了，构形就会转化成可约的K—构形，转型就不会产生周期循环，就是一个有限次转型的构形。这里所说的循环周期能否完成，是指每转型20次，图是不是又返回到了原来的初始状态。
可以看出，要确定一个构形是否是无穷周期循环转型的构形，至少需要的转型次数要达到E—图构形或5—轮构形固有的循环周期20次转型的两倍，即2×20＝40次转型。达到并进入第三个循环周期者，即是无穷周期循环转型的构形；否则，达不到者，即为有限次转型的构形。
在这里，我们已经从理论上解决了非E—图构形的H—构形最大的转型次数的上界值的界是：不小于20次，又不大于40次。但这只相当于是一个猜想，还要经过进一步的证明是否是正确的。

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