a,b,c＞0 ，证明：1／(a^3+b^3+abc)+1／(b^3+c^3+abc)+1／(c^3+a^3+abc)≤1／(abc)

Nicolas2050

1997年美国数学奥林匹克（USAMO）第五问，不等式证明

Nicolas2050

1997年美国数学奥林匹克（USAMO）第五问。
证明：
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)[(a-b)^2+ab]≥(a+b)·ab=a^2b+b^2a ;
即：a^3+b^3≥a^2b+b^2a.
或由基本不等式:a^2+b ^2>=2ab,得:a^2-ab+b^2>=ab,
不等式两边同乘以a+b可得:a 3+b ^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)>=ab(a+b)=a^2b+b^2a;
于是有：1/(a^3+b^3+abc)≤1/(a^2b+b^2a+abc)=1/ab(a+b+c)---（1）
同理，1/(b^3+c^3+abc)≤1/bc(a+b+c)------------------------------（2）

1/(a^3+c^3+abc)≤1/ac(a+b+c)-------------------------------------（3）

（1）+（2）+（3）三式相加：
1/(a^3+b^3+abc)+1/(b^3+c^3+abc)+1/(a^3+c^3+abc)≤1/ab(a+b+c)+1/bc(a+b+c)+1/ac(a+b+c)
=c/abc(a+b+c)+a/abc(a+b+c)+b/abc(a+b+c)[因为a,b,c＞0]
=(a+b+c)/abc(a+b+c)=1/abc
得证。#Q.E.D

Nicolas2050

(a>0,b>0,c>0)，求证a^3+b^3+c^3>=a^2b+b^2c+c^2a

Nicolas2050

(a>0,b>0,c>0)，求证a^3+b^3+c^3>=a^2b+b^2c+c^2a
证明：
预备知识：(a,b,c>=0)，a^3+b^3+c^3≥3abc.

证明：a^3+b^3+c^3-3abc
=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc
=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)((a+b)^2-c(a+b)+c^2)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
=(1/2)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac)(a+b+c)
=(1/2)((a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2)(a+b+c)
因为a.b.c是正实数,所以a+b+c>0.
而且(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2≥0
因此a^3+b^3+c^3-3abc≥0
即a^3+b^3+c^3≥3abc
得证。

由a ^3+b ^3+c ^3>=3abc基本不等式得到：
a ^3+a^3+b^3>=3aab=3a^2b------A
b ^3+b^3+c^3>=3bbc=3b^2c------B
c ^3+c^3+a^3>=3cca=3c^2a-------C

三式子相加得：
3(a ^3+b ^3+c ^3)>=3a^2b+3b^2c+3c^2a=3(a^2b+b^2c+c^2a)
所以有：(a ^3+b ^3+c ^3)>=(a^2b+b^2c+c^2a)
得证。#Q.E.D

luyuanhong

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