为什么 ∫(0,a)e^(-x^2)dx·∫(0,a)e^(-y^2)dy=∫∫(D)e^(-x^2-y^2)dxdy ？

大纲007

大家好

两个定积分相乘，我不知道还有运算法则，下图的相等关系是怎么推导出的？

（D是正方形区域）

12306

RHS=\(\int_{0}^{a}dx\)\(\int _{0}^{a}e^{-x^{2}-y^{2}}dy\)
=\(\int_{0}^{a}dx\)\(e^{-x^{2}}\)\(\int _{0}^{a}e^{-y^{2}}dy\)
=\(\int_{0}^{a}e^{-x^{2}}dx\)\(\int _{0}^{a}e^{-y^{2}}dy\)=LHS
本质上这只是将\(\int _{0}^{a}e^{-x^{2}-y^{2}}dy\)中的\(e^{-x^{2}}\)提到前面去，而且\(\int _{0}^{a}e^{-y^{2}}dy\)也只是一个常数（与x无关）故可以写成乘积的形式