ΔABC 中，∠B=90°，D 为 AB 中点，F∈AC，CF=BD，E 为 DF 中点，求证：∠AFD=∠ECB

tmduser

百度上看到的题，感觉应该很简单，想了许久也没找到窍门。

王守恩

\(记∠ACB=\theta\ \ \ AC=2\ \ \ AB=2\sin(\theta)\ \ \ BC=2\cos(\theta)\)

\(正弦定理\ \frac{AD}{\sin(1)}=\frac{AF}{\cos(\theta-1)}\ \ \ 即\ \frac{\sin(\theta)}{\sin(1)}=\frac{2-\sin(\theta)}{\cos(\theta-1)}\)

\(正弦定理\ \frac{FC}{\sin(1+2-\theta)}=\frac{FE}{\sin(\theta-2)}\ \ \ 即\ \frac{\sin(\theta)}{\sin(1+2-\theta)}=\frac{\sin(\theta)\cos(\theta)/(2\sin(1))}{\sin(\theta-2)}\)

\(电脑整理可得\ \ 1=2\)

tmduser

找到一种几何证法，舶来品，分享一下。

luyuanhong

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天山草

复平面解析法证明如下。

此法的好处是不用动脑子，接一定套路编好程序后，交给计算机去折腾。

编程思路是：令 B 点为复平面坐标原点，C 点在实轴上且 C 点坐标为 1。 D 点在虚轴上，令 D 点坐标为 k i，则 A 点坐标为 2k i。

设 u=CF : CA，在 CF=BD 条件下可求出 u 的值。最后计算 ∠1 和 ∠2 的正切值，若这两角的正切值相等，则两角相等。

王守恩

王守恩 发表于 2022-7-7 05:26
\(记∠ACB=\theta\ \ \ AC=2\ \ \ AB=2\sin(\theta)\ \ \ BC=2\cos(\theta)\)

\(正弦定理\ \frac{AD}{\s ...

\(记∠ACB=\theta\ \ \ AC=2\ \ \ AB=2\sin(\theta)\ \ \ BC=2\cos(\theta)\)

\(过D作AF的垂线,垂点为K，过E作BC的垂线,垂点为H\)

\(\tan(1)=\frac{KD}{KF}=\frac{\cos(\theta)\sin(\theta)}{2-\sin(\theta)-\sin^2(\theta)}\)

\(\tan(2)=\frac{HE}{HC}=\frac{\sin^2(\theta)+\sin(\theta)}{\cos(\theta)\sin(\theta)+2\cos(\theta)}\)

\(手工整理可得\ \ 1=2\)

王守恩

王守恩 发表于 2022-7-9 20:16
\(记∠ACB=\theta\ \ \ AC=2\ \ \ AB=2\sin(\theta)\ \ \ BC=2\cos(\theta)\)

\(过D作AF的垂线,垂点为 ...

\(记∠ACB=\theta\ \ \ AB=2\ \ \ AC=2\sec(\theta)\ \ \ BC=2\tan(\theta)\)

\(过D作AF的垂线,垂点为K，过E作BC的垂线,垂点为H，过F作BC的垂线,垂点为P\)

\(\tan(1)=\frac{KD}{KF}=\frac{KD}{AC-AK-FC}=\frac{\sin(\theta)}{2\sec(\theta)-\cos(\theta)-1}\)

\(\tan(2)=\frac{HE}{HC}=\frac{(DB+FP)/2}{(BC+PC)/2}=\frac{(1+\cos(\theta))/2}{(2\tan(\theta)+\sin(\theta))/2}\)

\(手工整理可得\ \ 1=2\)

王守恩

王守恩 发表于 2022-7-10 06:55
\(记∠ACB=\theta\ \ \ AB=2\ \ \ AC=2\sec(\theta)\ \ \ BC=2\tan(\theta)\)

\(过D作AF的垂线,垂点为 ...

\(\tan(\theta-1)=\frac{1-\cos(\theta)}{2\tan(\theta)-\sin(\theta)}\)

\(\tan(\theta-2)=\frac{\sin(\theta)}{2\sec(\theta)-\cos(\theta)+1}\)

denglongshan

第四行说明，角相等或互补，不看图不好确定是互补还是相等，复斜率则容易。

tmduser

这俩好像是一个题，可以关联在一起
http://www.mathchina.com/bbs/for ... ead&tid=2057382