一个实函数f(t)傅里叶级数的复数形式展开，那些虚部是互相抵消了么？？

wufaxian

请看下图中绿框。一个函数f(t)，一开始可以看作无穷正余弦波的叠加。这一开始没有虚数什么事情。好理解。但是一旦展开成复数形式，特别是无数e累加的情况(图二绿框)，那么每个e都是复平面上的一个旋转的向量。这就代表无数复平面上旋转复向量的累加。如图三。但是无穷个复函数累加最终得到一个实函数，怎么理解这件事情呢？是否可以认为这些函数的虚部都互相抵消了。即，随着t的变化，无穷多个复函数的虚部相加等于零，只剩下实部，最终合成出了实函数f(t)。反映在图三中，就是一堆复向量累加但是每时每刻他们累加的和都在实数轴上！

下划线的段落针对图一的第一个绿框
关于一个复数函数f(t)如何用无穷多的正弦余弦函数线性相加产生。根源就在于an，bn会由一个复函数f(t)积分得到。所以一个复函数会产生无穷多的复系数an，bn，作为正余弦基底的系数。这样就复函数的虚部提供的原料。

某一个频率的正余弦波(基底)如果有相位偏移，那么将反映在它的系数an或bn上，an或bn必定是一个复数，其中虚部的系数就是该频率基底波在相位谱上的幅值？

一个实函数的傅里叶级数展开的系数an bn，其中某些a 或b 也可能是复数。但是无穷多的复系数*其对应的正余弦函数再累加以后，所有虚部必将全部抵消，最终生成一个实函数。

从复数形式的傅里叶级数看，如果某一个频率对应的系数C是复数，那么代表这个频率的波在初始状态必然有一个相位偏移，但是此时C的虚部是该频率正弦波在相位谱的幅值？

图一

图二


图三