数学中的梯度、散度与旋度到底是干嘛用的？

luyuanhong

数学中的梯度、散度与旋度到底是干嘛用的？

中国科学院数学与系统科学研究院 2022-07-08 08:32 发表于北京

数值模拟的核心就是控制方程。

对于每一个做数值模拟的研究生而言，特别害怕老板提问的就是：你研究问题的控制方程是什么啊？

而这个时候学生的内心往往是这样的：老师我用软件算的，知道那些乱七八糟的有啥用啊！

难道各位老板不明白：虽然我们都学过高数，但是早就已经忘光了，那些复杂的偏微分方程，哪那么容易就能理解！

好在帕坦卡被折磨了数年之后，总算还是大致摸清了方程背后的意义！

1  常见方程

首先，我们看看那些常见的方程都有什么特点？

流体力学的连续性方程和 Navier-Stokes 方程



传热学的能量守恒方程



电磁学的麦克斯韦方程组



仔细观察后可以发现，符号“▽”的出镜率简直出奇得高！

那么，这个符号“▽”到底代表什么意思呢？

准确来说，符号“▽”的意义有三种，这完全取决于它后面跟着的东西是什么。

不过别紧张，我们耐心看一下 ，这三种情况分别是什么。

2  梯度

关于梯度，百度百科是这么定义的：

梯度的本意是一个矢量，表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着梯度的方向变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。

好吧，我知道你没看懂！

首先，学过微积分的我们都知道，如果 f 是 x 的函数，那么 f 沿 x 轴的变化率就是 df/dx 。



可是进一步，如果 f 是 x 和 y 的函数呢？



显然，这个时候 f 沿平面内每个方向都存在变化率。



如果是其它一般的方向（比如说沿 s 方向）呢？

只需将 x 和 y 方向的变化率叠加一下就可以了（其实有点像力的叠加）。



其中（cosα，cosβ）是沿 s 方向的单位向量。

下面引入符号“▽”，令



则有





既然 ▽f 的方向如此特殊，数学家便给它取了个名字，叫做“梯度”。

所以说，函数沿梯度方向具有最大的变化率。

以上主要针对二维情况，按相同的逻辑，我们也可以得到三维梯度的表达式



可以看到，梯度操作的对象是标量（只有大小没有方向），而得到的结果则是矢量（既有大小也有方向），该矢量表示了标量变化最快的方向。

3  散度

在开始散度之前，我们先来看看这样一个问题：

如何计算水通过某一个平面的流量？



先看最简单的情况，假设水流速度 v 和面积为 S 的平面垂直，因为速度 v 和面积 S 都是矢量，所以我们分别用 |v| 和 |S| 来表示 v 和 S 的大小，那么，通过这个平面的流量 Φ 就可以简单表示为





进一步，如果速度 v 和面积 S 的方向不垂直，而是存在一个夹角 θ ，显然通过平面 AB 的流量 Φ 减小了。面虽然还是那个面，但是水真正流过的平面变成了 AB 沿流动方向的投影 BC 。而通过这个平面的流量 Φ 就变成了



有了以上结果，我们就可以很方便地得到水通过一个闭合曲面的流量。



如上图所示，如果我们把这个曲面分割成无穷多份，并将每一份的面积记为 dS ，那么水通过每一小份的流量 dΦ 就等于



对所有的流量 dΦ 进行求和，就可以得到水通过这一闭合曲面的总流量



但是，这个曲面积分计算起来的难度仍然比较大。

幸运的是，这个难题已经被“数学小王子”高斯解决了。


约翰·卡尔·弗里德里希·高斯



这怎么看着更复杂了呢？

其实，数学家也这么觉得，于是引入了“散度”的定义。



最终就变成了



其中



就叫做速度 v 的散度。



也就是说，水穿过任意闭合曲面的流量就等于水流速度的散度对闭合曲面所包围的体积的积分。

散度描述的就是某个物理量在某一点的单位体积流量。

显然，流量是物理学中非常重要的研究对象，这也是散度频繁出现在各种物理学公式中的原因。

此外，与梯度不同，散度的操作的对象是矢量，得到的结果则是一个标量。

4  旋度

旋度的引入与散度有些类似，为了理解其真正的物理含义，我们也先来看这样一个问题：

如何计算力对某一个物体做的功？



显然，对于图（a）而言，力对物体做的功就是



同样地，因为力 F 和物体移动的距离 s 都是矢量，所以我们分别用 |F| 和 |s| 来表示 F 和 s 的大小。

而对于图（b）而言，由于力与物体移动的方向存在夹角 α ，因此实际做功的力的大小变成了 |F|cosα ，力对物体做的功变成了



据此可以得到，力沿一条曲线 s 的做功为



如果该曲线是闭合的，那么力沿曲线 s 的做功就变成了




斯托克斯

同样地，这个曲线积分计算起来也有一定难度，于是斯托克斯给出了下面的计算公式



其中



就叫做力 F 的旋度。



也就是说，任意矢量沿闭合曲线的积分就等于其旋度对曲线包围的曲面的积分。

因为它描述的是矢量沿一条曲线旋转一圈的积分，因此被称作旋度。

旋度与梯度和散度都不同，旋度的操作的对象是矢量，得到的结果还是一个矢量。

5  总结

分析了半天，好像还是用了一大堆公式！

如果上面的分析你还是没看懂，为了方便大家比较，帕坦卡最后对三种数学运算进行了总结和对比，希望能对大家有所启发。



好了，了解了梯度、散度和旋度，最后问一句，流体力学里面的连续性方程和 Navier-Stokes 方程，你明白了吗？

来源：数学经纬网