线性变换将 O(0,0),A(1,0),B(0,1) 变成 O(0,0),A'(3,√3),B'(-√3,3)，选出正确的选项

dodonaomikiki

台湾111学年， 数学甲，    矩阵题目

请看题目

dodonaomikiki

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luyuanhong

dodonaomikiki

\(       \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}      \begin {bmatrix} 1 \\  0 \end{bmatrix}      \)

\(   \Longrightarrow         \begin{cases}    a\bullet1+b\bullet 0=3         \\  c\bullet1+d\bullet0=\sqrt{3}     \end{cases} \)

\(  \Longrightarrow       \begin{cases} a=3\\c=         \sqrt{3}     \end{cases}  \)



\(      \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}      \begin {bmatrix} 0 \\  1 \end{bmatrix}      \)

\(   \Longrightarrow      \begin{cases}    a\bullet0+b\bullet1=-\sqrt{3}              \\  c\bullet  0+d\bullet  1= 3          \end{cases} \)

\( \Longrightarrow        \begin{cases} b=      -\sqrt{3} \\d=  3     \end{cases}  \)


Then

\(     \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}  =        \begin{bmatrix} 3 &  -\sqrt{3}  \\   \sqrt{3}  & 3 \end{bmatrix}  \)              





①经过心算， 错

dodonaomikiki

从初中生的角度看，是这样

\(    \begin{cases}      ax+by=X \\    cx+dy=Y   \end{cases}                          \)
\( \Longrightarrow        \begin{cases}     3x-\sqrt{3}y=X \\    \sqrt{3}x+3y=Y   \end{cases}                             \)


也就从初中生角度来看，
是\(   a,b,c,d       \)让\(   （x,y）       \)发生变化！
而非 \(   （x,y）       \) 让 \(   a,b,c,d       \)发生变化
\(     C（x,y）                         \) 设定为   \(  cos\Phi,sin\Phi                            \)

\(    \Longrightarrow         C'（x',y'）                         \)
\( =(     3cos\Phi  - \sqrt{3}sin \Phi       ,   \sqrt{3}cos  \Phi   +3sin    \Phi         )                             \)
\( \Longrightarrow         x^2+y^2=9+3=12                             \)


②显然对

dodonaomikiki

③我想用具体数值法

\(     \Phi=0^O                  \)
\(    C=(1,0)                         \)
\(   \Longrightarrow     C'=(3,             \sqrt{3})                          \)


图中可见，
\(      \Longrightarrow    arctan  \frac{  \sqrt{3}   }{3}      =30^O                  \)
③是显然错的

dodonaomikiki

④略


⑤随便作图。
小圆横坐标\(  \prec   \)大园横坐标の情况下，
小圆纵坐标   有可能\(  \succ    \)大园纵坐标
⑤错 好题