甲乙丙丁四个老师分成三组（每组至少一人）分配到三个班，甲乙不能同组，有几种分法？

wufaxian

甲乙丙丁四个老师分成三组后分配到三个班。每班至少一名老师，但甲乙不能同组

老师给出的算法，我明白了。我想了另外一种算法。但是结果不对。请看我错在哪里里了？

下图是老师的算法。思路如下。
分组-1 ，因为甲乙同组只有一种情况。所以 要先分组，去掉顺序后 -1.    这样的话分组的情况一共有5种。
排序*\(A_{3 }^{3 }\)  代表将三个老师分配到三个班去。

我换一种思路。如下：
甲丙丁先参与分组，乙暂时不参与分组。
\(\frac{C_3^1C_2^1C_1^1}{A_3^3}\)
以上分好的组（已经除序了），在考虑把乙加进来。无非两种情况，乙和丙一组，乙和丁一组。这样分组总数就是3

然后再排序。也就是乘以\(A_{3 }^{3 }\)  =3*6=18

但是按照老师的方法算出来结果等于30。所以，我错在哪里了？

视频地址：https://www.bilibili.com/video/BV1i7411m7EU?p=3&vd_source=a553e7e4f04d4c30ac8e2a3e4bb2fdba&t=1286.6

wufaxian

我发现我犯了如下错误。分组的时候没有考虑乙单独一组的情况。我发现排列组合的问题一旦思路错了特别容易少算或多算。请问如何避免类似错误。有什么技巧么？

波斯猫猫

题：甲乙丙丁四个老师分配到三个班。每班至少一名老师，但甲乙不能同组，共有多少种不同的分法？
思路：由题意知，只有一个班有两个老师，其它两个班每班只有一个老师。因甲乙不能同组，可分为两
种情形：乙一人在一组的组数是C(1,1)，其他三人必有两人一组的组数是C(3,2)，余下一人组的组数是C(1,1)，然后下到各班的排法数是P(3,3)，这种情形有C(1,1)C(3,2)C(1,1)P(3,3)=18种分法。另一种情形是：乙与丙（或丁）在一组（这两人“捆绑”在一起）的种数是C(2,1)，甲与丁（或丙）各在一组的组数是C(1,1)与C(1,1)，然后下到各班的排法数是P(3,3)，这种情形有C(2,1)C(1,1C(1,1))P(3,3)=12种分法。故共有30种分法。

wufaxian

波斯猫猫 发表于 2022-7-20 09:51
题：甲乙丙丁四个老师分配到三个班。每班至少一名老师，但甲乙不能同组，共有多少种不同的的分法？
思路： ...

谢谢详细解答。请问排列组合题目设计计算方案时如何做到不错不漏。有什么技巧或心得可以分享么？

波斯猫猫

在中学，排列组合的理论很少也很浅显，不外乎是两个基本原理（分步与分类）和有序（排列）无序（组合）的计算等。如何才能做到不错不漏？这是个人的综合素质问题，不能一概而论，最起码要做到分步或分类要恰当，分析过程要到位，做到不重复不遗漏。有什么技巧或心得可以分享么？简单的技巧还是得掌握一些，如：捆绑法，插入法等。

波斯猫猫

曾经遇到过较复杂的同一个排列组合问题，出现在不同的书上，解答结果各不同。于是好几人一起研究它们的解答，似乎都没有毛病（两个答案至少有一个是错的）。问大师，亦无法断谁对谁错。可想，解决排列组合问题得特别小心！

luyuanhong

lihp2020

不重复不遗漏 要求分类仔细     你分成A 类和B类  就要要考虑 是否存在 非A且非B  或者 AB同时满足

简单 人分男女  你分类 如果分 A:男 B:女 你心里都要想想 有没有 默认是男也是女  和 不是男也不是女？
你这个语句
甲丙丁先参与分组，乙暂时不参与分组。
上面人给你解释了 为啥有问题 我给你说说 实际怎么避免这个问题
根据对称性 你写了上面的
甲丙丁先参与分组，乙暂时不参与分组。
肯定有一句
乙丙丁先参与分组，甲暂时不参与分组。
为啥 因为对称性质  该题甲乙 具有相同的地位
这样 出了这个两个语句  你就要考虑他们的交集 和 两个都不满足的情况
其次 不重复不遗漏  要多练习  一看题就知道怎么分类能完成不重不漏
有些问题 比如有重复 我们可以考虑容斥原理 解决

wufaxian

波斯猫猫 发表于 2022-7-20 10:52
曾经遇到过较复杂的同一个排列组合问题，出现在不同的书上，解答结果各不同。于是好几人一起研究它们的解答 ...

向你请教。以后学概率用到排列组合的知识时，是否也会经常碰到类似扑朔迷离，容易算错或漏算的情况？
还是说大部分都是平常简单的排列组合问题。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2022-7-20 11:08

谢谢lu老师的详细讲解。
在你第一段解题过程中。给出的公式\(C_4^2-1\)   .没有* \(C_2^1C_1^1\div A_{2 }^{2 }\)   。是你在心中已经将他们抵消了？
还是说仅用\(C_4^2-1\)  也可以从道理上解释的通？