趣题分享：求 x 使 ln x, ln (2x), ln(3x) 是某直角三角形的边长.

elim

题：求 x 使 ln x, ln (2x), ln(3x) 是某直角三角形的边长.

波斯猫猫

解超越方程组：a^2+b^2=c^2，e^(b-a)=2，e^(c-a)=3.

luyuanhong

elim

luyuanhong 发表于 2022-7-27 03:27

谢谢陆老师的解。下面的解大同小异：

题：求\(x\)使\(\ln x,\,\ln(2x),\,\ln(3x)\)是某直角三角形的边长.
解：由勾股定理，\(\ln^2 x=\ln^2(3x)-\ln^2(2x)=((\ln(3x)+\ln(2x))(\ln(3x)-\ln(2x))\)
\(\qquad = \ln(3/2)(\ln 6+2\ln x)=\ln(3/2)\ln 6+2\ln(3/2)\ln x\)
\(\therefore\;\ln x = \ln(3/2)+\sqrt{\ln^2(3/2)+\ln 6\ln(3/2)}\)
\(\qquad\)是\(\ln x\)的唯一正解。即 \(x={\large\frac{3}{2}}e^{\sqrt{\ln9\ln\large\frac{3}{2}}}\)