三角形三边 a,b,c 之和为 3，求 a^2+b^2+c^2+4abc/3 的最小值

elim

题：三角形三边 \(a,\,b,\,c\) 之和为 3，求 \(a^2+b^2+c^2+{\small\dfrac{4abc}{3}}\) 的最小值.

12306

直接使用拉格朗日乘数法
\(设f(a,b,c)=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dfrac {4}{3} abc+λ(a+b+c-3)\)
\(解方程组f_{a}=f_{b}=f_{c}=0,即a+\dfrac 23bc=b+\dfrac 23ac=c+\dfrac 23ab\),
\(移项可得(1-\dfrac 23c)a=(1-\dfrac 23c)b\),\(同理可得(1-\dfrac 23a)b=(1-\dfrac 23a)c与(1-\dfrac 23b)a=(1-\dfrac 23b)c\),
\(由于a，b，c不能同时为\dfrac 32 ,所以该方程组只有一解a=b=c=1。故原式最小值为\dfrac {13}{3}\)

elim

谢谢 12306 网友的解答。这题是 07年我国的奥赛题。可以用更初等的方法如下：
假设\(a\le b\le c,\;a=\beta-\delta,\,c=\beta+\delta\) 则有
\(a^2+b^2+c^2+{\large\frac{4abc}{3}}=9-2(ab+c(a+b))+{\large\frac{4abc}{3}}\)
\(=9-2c(3c)-2\beta^2+{\large\frac{4c\beta^2}{3}}+(2-{\large\frac{4c}{3}})\delta^2\)
\(\because\;c<3/2\), 上式最小当且仅当\(\delta=0,\,\beta=1\).  所求最小值是\(\small\dfrac{13}{3}\)

luyuanhong

楼上 elim 的帖子和 12306 的解答都很好！已收藏。

王守恩

\(不成熟的想法。\)

\(一，a,b,c\ 是正数，已知\ a+b+c=A，求\ a^2+b^2+c^2+abc*B\ 的最小值。\)
    \(解方程：(\frac{x}{2})^2+(\frac{x}{2})^2=(\frac{x}{3})^2+(\frac{x}{3})^2+(\frac{x}{3})^2+(\frac{x}{3})(\frac{x}{3})(\frac{x}{3})*B\ \ \ \ 得\ x\)
    \(若\ x<A，则用左边的算式：a=0,b=c=\frac{A}{2}\)
    \(若\ x>A，则用右边的算式：a=b=c=\frac{A}{3}\)

\(二，联系本题：已知\ a+b+c=3，求\ a^2+b^2+c^2+abc*(\frac{4}{3})\ 的最小值。\)
    \(解方程：(\frac{x}{2})^2+(\frac{x}{2})^2=(\frac{x}{3})^2+(\frac{x}{3})^2+(\frac{x}{3})^2+(\frac{x}{3})(\frac{x}{3})(\frac{x}{3})* (\frac{4}{3})\ \ \ \ 得\ x=\frac{27}{8}\)
    \(若\ x>A，则用右边的算式：a=b=c=\frac{3}{3}\)

\(三，只要\ a,b,c\ 是平等地位的，都可以用此法。\)

波斯猫猫

题：三角形三边 a,b,c 之和为 3，求 a^2+b^2+c^2+4abc/3 的最小值。

思路：设三角形的面积为t，则由海伦公式易得t^2/p=(p-a)(p-b)(p-c)≤(3p-a-b-c)^3/27，

=p^3/27(p=3/2)，即t^2≤3/16（仅当a=b=c=1时等号成立）。

把t^2/p=(p-a)(p-b)(p-c)变形整理得，4abc/3=2(ab+bc+ca)-8t^2/9-9/2，

故a^2+b^2+c^2+4abc/3 =a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)-8t^2/9-9/2

=(a+b+c)^2-8t^2/9-9/2=9/2-8t^2/9≥13/3。

注：海伦公式在这里起到了关键性的作用，使问题得以用面积转化。

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。

alexyu008

不错，受益了，网友们很厉害！