在“四色问题专家联盟”群中的聊天记录

雷明85639720

在“四色问题专家联盟”群中的聊天记录
雷  明
（二○二二年七月二十七至二十九日）

一、关于构形问题：
每种构形都有其与别的构形不同的特征。一眼就能看出其属于那种构形。
可避免的构形待着色顶点的度是大于等于6的，不可避免的构形待着色顶点的度是小于等于5的。
可直接着色的构形围栏顶点占用的颜色数是小于等于3的，不可直接着色的构形围栏顶点占用的颜色数是等于4的。
K—构形是可以从围栏顶点中空出颜色的构形，H—构形是不可从围栏顶点中空出颜色的构形。
可以用断链法的构形是含有经过了围栏顶点的环形链的构形，不可用断链法而只能用转型法或转型法＋断链法的构型是不含有经过了围栏顶点的环形链的构型。
一目了然，极易判别。
张先生是否也按你的理论总结一下判别不可避免构形的规律呢？特别是如何判别十折对称与非十折对称构形的规律！
有经过了围栏顶点的环形链的构形与无经过围栏顶点的环形链的构形是可以相互转化的。比如有A—B环形链的构形，其环内、外各有一条C—D直链。若在A—B环形链中打开一个缺口，即改变某一个顶点的颜色为其相反键C—D的某种颜色，这时构形就转化成了不含有经过了围栏顶点的环形链的构形。同样的道理，含有C—D环形链的构形也可以转化成不含有环形链的构形。这样的过程也是可以可逆进行。也就是说不含有环形链的构形也是可以不经过转型，也可以直接转化成有环形链的构形的。这样无环形链的构形，解决的办法就更加简单了。
四色问题的解决越来越简单了。也不需要为解决无环形链的构形另找转型法了。也更不需要证明转型的最大次数了。证明时与E—图也就没有什么关系了。
严格的说，对于BAB型的H—构形来说，有A—B环形链应是经过了双环交叉的A—C链和A—D链的共同起始顶点A或交叉顶点A的环形的A—B链，它把经过双环交叉链的两个末端顶点的C—D链与其它的C—D链分隔在了环的两侧。交换了A—B环任一侧的C—D链，图中都就不存在双环交叉链了。虽然还有起点是同一顶点的双环链存在，但却不是真正的“十字”相交叉了。
对于有环形链C—D的构形也是这样，是含有经过了双环交叉链两个末端顶点的环形的C—D链，且能把双环交叉链的起始顶点与至少一个交叉顶点（有些构形是有多个交叉顶点的）分隔在环的两侧，交换了C—D环一侧的任一条A—B链，图中也就没有双环交叉链了。
所谓的环形链是特指经过了双环交叉链的起始顶点、交叉顶点和两个末端顶点的环形链，而不是别的任何环形链。
不存在这两种环形链的H—构形，都是无环形链的H—构形。
根据以上情况看，赫渥特的H—图与埃雷拉的E—图，还有敢峰先生的“终极图”（实际上就是E—图），都是具体的图和具体的构形，都只是有环形链的H—构形的一种，都可以用断链法解决问题。证明四色猜测时可以不用他们，只用有环形链的一般构形就可以了。特别是不能把E—图作为一个不可避兔的构形，而应该象对待H—图那样，在证明时根本就不用它。
其实在E—图中，除了待着色顶点，围栏顶点，双环交叉链，环形的A—B链外，其他的边不画出时，也能用断链法解决问题。所以说H—图和E—图只是个别的具体的图，而不是非具体的、能代表一般的、有环形链的、不可避免的构形。
从此可以看出，把E—图叫做终极图是没有道理的。它只能是一种有环形链的H—构形中的一个，根本代表不了另一种有环形链的H—构形，更代表不了无环形链的H—构形。
由此可知，H—构形共有两类，一类是有环形链的构形，另一类是无环形链的构形。其中，有环形链的构形又可分为两类，对于BAB型的H—构形来说，一类是有A—B环形链的，另一类是有C—D环形链的。也可以认为H—构形有三类，各有各的解决办法。
有环形链的H—构形与无环形链的H—构形可以相互转化，使得四色猜测的证明简单多了。不要再证明无环形链的构形是只能用有限次转型的方解决了，也不要再证明最大转型次数的上界值是多少了，还可以不用再把E—图作为一个无穷周期循环转型的代表，在证明四色猜测中出现了。只减少了这三步，就使得猜测的证明简单多了。

二、关于阿贝尔的构形集问题（一）：
我研究四色问题这么多年（1985年开始）的经验就是一定要把平面图不可避免构形的分类工作做好，取得完备的不可避免集。阿贝尔的1940多个不可免集与后来的633个不可免集都没有证明是完备的。有没有遗漏，只有天知道。不要以为多了就不会有遗漏的。而是相反，只有少了才不可能产生遗漏。请问，多级分类，每级都只分出非此即彼的两类，会产生遗漏吗？
阿贝尔用所谓的放电的方法得到有1900多个不可避免的构形集，是眼睁睁的在欺骗读者。他怎么不把放电的原理公布出来呢？敢峰先生构造的终极图不管对与不对，人家把用可控换色用对角四环演绎和邻角三环演绎构造终极图的过程都公布出来了，阿贝尔等人做到了吗？
阿贝尔还说，（5，5）构形和（5，6）构形都是不可免的构形，但又说这两个构形是不可约的。你们证明了吗？连不可避免的构形也都是不可约的，那么请问，能证明四色猜测是正确的吗？阿贝尔把广大的读者整整欺骗了四十五年了。

三、关于一个图的4—着色：
在有环形链的构形与无环形链的构形的相互转化中，任何一个无环形链的构形都是可以转化成有环形链的构形的，但并不是所有的有环形链的构形都可以转化成无环形链的构形。如H—图的简化构形（是有环形链C—D的构形）就不能转化成无环行链的构形。因H—图的简化构形中的C—D环形链的长度不够（其长度只有4），如果该链长度达到6时，就可以转化成无环形链的构形。
请朋友们对下图（构形）进行一下4一着色。

发出图后，张彧典先生很快就发来了着色结果。（如下两图）


我继续说：
严格的说，对于有环形链的H—构形，笼统的提出交换环形链内，外的任一条相反链还是不行的。上图就是一个反例，它即就是不管是交换了A—B环内，外的那一条C—D链，构形都仍然是H—构形，而不会转化成K—构形。这是什么原因呢？只能从表面上看是因为环形的A—B链没有经过围栏顶点。而经过了围栏顶点的A—B和C—D两条链都是非环形的。该构形应属于无环形链的构形。至于更深层次的原因就说不清了。既是无环形链的构形，那么，用无环形链的构形的解决办法，一定是可以转化成K—构形的。转型法十断链法可以解决，只用转型法也可以解决，直接转化成有环形链的方法也可以解决。
老张朋友，你把两个着有B色的顶点改成了D色，是为了什么呢？原图就是那样，你改了后不就不是我的原图了吗？况且你也没有给V着上颜色呀！
你这种着色方法是你的那种着色方法呢？
张先生回复说：
你的图包含19个点，根本不是十折对称的几何结构，所以只能H程序，而且必须在A—C主环外颠倒所有B、D色，包括的A—C次环内的，这就是我和敢峰先生的认识与做法。
你应写出的的着色步骤。
我说：
你是从左上角先交换的B—D链，然后应该是新产生了从右上角的B到左下角的C的连通链，但你却把原图中的一个B点改成了D点，使之成了不连通的。结果使构形成了可以连续的移去两个同色的K—构形。你看看你的第二个图能不能移去另一个B呢？
张先生回复说：
十折对称的几何结构中点数应为16十5n(n为自然数)。你的图染色与我书中9构形之第一构形一样两步即可(第二图已经生成A一D环，。。。)
我说：
我的作法是：
第一步，从右B交换B—C链，生成了经过围栏两个顶点A和B的环形的A—B链。
第二步，交换A—B环内，外的任一条C—D链（这里交换的是A—B环外的C—D链），即可转化成K—构形。
第三步，第二步所得图中有交叉的C—A链和C—B链，但两链却不是同一个起点，所以是一个只能空出A、B、D三色之一的K—构形。这里是从A点交换了A—D链，空出了A给待着色顶点Ⅴ着上。

你也应向我这样，一步一步祥细的说清楚。
我的图就不是所谓的十折对称的，但你没有说清我的图为什么不是十拆对称的，难道顶点数符合16十5n的图都是十折对称的吗？有21个顶点的道路也是十折对称的吗？21圈也是十折对称的吗？21＝16十5×1呀！
我这个图当然还有多种着色方法，也一定是能写出着色步骤的！但你的却写不出步骤来！
其他方法就是我分析有环形链的H—构形的解决办法时说的那些。可以连续转型，也可以转型十断链，也可以直接转化成有环形链的构形。我上面用的是转形十断链的方法。
把上图转换成有环形链的多种方法如下：

再交换环形链内、外的任一条经过了围栏顶点的相反链，即可转化成可约的K—构形。
我的原图中有3条A一C环你认为那条是主环呢？为什么？可你交换了主环以外的所有B、D顶点的颜色，下一步该交换那个，空出什么颜色呢？你这样交换的结果是相当于把移去了一个同色B后，新生成的从另一个B到其对角的连通链变得不连通了，当然就成了可以连续的移去两个同色B的可约的K—构形了。
如果不明确什么是主环，我可以认为最外面一个是主环，交换的结果只能是得到一个H—构形了，还得要继续的颠倒。这与你不定义什么是十折对称一样，别人是无法判别的。
我给的图本来就是不能空出任何一种颜色（包括B在内）的H—构形，你却把它攺成可以连续的移去两个同色的可约的K—构形，那就不是我的原题了。
老张朋友，
1，你昨天对我给出的那张图的着色方法也是可以的。为什么说“也是可以的”呢，因为该图还有别的多种4—着色的方法。
2，你这样做的结果，可使一个本来是不可连续的移去两个同色B的H—构形，直接就变成了可以连续的移去两个同色B的可约的K—构形。
3，接下来的第二步就是从右上角开始交换B—C链，就可以再从围栏顶点中移去另一个同色B。然后再把B给待着色顶点Ⅴ着上。
4，当然第一步从右上角的B点开始，用可控换色方法在A—D环一侧（外侧）交换B—C，也是可以连续的移去两个同色B的。这是各条双环交叉链存在多条时所带来的好处。
5，由于构形有两种画图的方法，待着色顶点是显形的画法和隐形的画法两种，要严格的说明某链十Ⅴ的环内、环外是指那部分也很难，要严格的定义什么是主环也不是一件容易的亊。
6，根据你与我争论两次的你用可控换色法着色的两例看，明显可以看出，你的换色是到达离换色开始顶点最远的一条控制线才停止的。是否这就是可控换色的范围呢？
7，但这样强行的规定也有问题。比如对于昨天的图来说是有好处的。但对于上次争论的图，又是没有好处的。为什么这么说呢？因为本来可以用有限次的转型法可以解决问题的构形，这样一搞，反倒成了进行无穷次转型也解决不了问题的构形了。
8，看来着色过程中可根据各条双环交叉链的条数的多少，看用可控换色是否有益，可视具体问题灵活决定是否用可控换色。
9，可控换色是在一个可控的范围内进行的与可控色链相反的另外两种颜色的全部换色。而颜色交换则是在某条链内进行的两种颜色顶点的换色。
10，我的以上看，是否正确，请回复。但你的十折对称还没有给出定义呢？
张先生回复：
以上9点说得对！总之，对于染色困局构形的4—染色，只有两种解法：要么用H—染色程序，要么用Z—染色程序，或两程序并用。这一点我们已取得共识。对于10，朱勒论文中提出《图4（即E1构形）具有十折对称性”，我的理解是：象五边形，具有十个不同方向的对称轴，所以叫十折对称。
我回复：
那么也只能说E一图的裸图是十折对称的，且只能是在待着色顶点是隐形的画法时是如此。当待着色顶点是显形画法时就不是十折对称的了。且待着色顶点是隐形画法时的构型也不是十折对称的了。
对于我昨天所给的图，按在链内交换B—D的方法，遇到了A—C链就停止交换，就新产生了从另一个B到其对角顶点的连通的B—C链，该构形就是不能连续的移去两个同色B的H—构形。只要换色突破了一条A—C链，就不可能新生成连通的B—C链了，就是可以连续的移去两个同色B的可约的K—构形了。可以更灵活一些。
不管别人怎么叫，首先我们自已要理解，不能人云亦云。没有一个十折对称的确切定义，是难以判别什么样的构形是十折对称的，什么样的构形不是十折对称的。不能用颠倒法去进行试验。有限次颠倒就是非十折对称的，而无穷次颠倒的就是十折对称的。通过颠倒都已经把问题解了，就是知道了是否是十折对称的，还有什么用呢？所以我认为十折对称的定义很是重要。
如果你的证明中能脱离开E—图构形（象已脱离了H—图构形一样），只谈有没有经过了围栏顶点的环形链（以上的E—图和H—图都是有环形链的构形），那么四色问题的解决可就简单得多了。有环形链的构形用Z—换色程序，无环形链的构形用有限次的H—换色程序，或者H—程序十Z—程序的联合方法，或者直接把构形转化成有环形链的构形，再用Z—换色程序的方法，都是可以解决的。
这就把所有类型的H—构形都变成了可约的了，加上坎伯已证明是可约的K—构形，平面图的不可避兔构形都是可约的了，四色问题也就解决了。

四、关于阿贝尔的构形集问题（二）：
现在，再谈阿贝尔的由1900多个构形构成的不可免集是不完备的。
1，首先他是沒有进行证明的，而是由计算机通过放电方式得到的，而且都是可约的。这明显的是以数量“大”来代替完备性的“证明”的。如果再让计算机继续工作1000多个小时，说不定还能得到由4000多个可约构形构成的不可免集呢？这完全是有可能的。
2，1900多个构形中也可能还含有可以避免的构形，但肯定不是所有的不可避兔的构形。后来减少到630多个，这说明原来的1900多个构形中就可能有1270个是可以避免的构形，或者是重复了的不可避免的构形。这就明显的说明了原来的1900多个构形构成的不可避免集是没有经过证明的，不是完备的。那么又有谁能保证剩下来的633个构形的集合是不是完备的呢？
3，1900多个构形是怎么得来的，各是什么样子，我看恐怕连阿贝尔们也可能都不知道，别人更是不可能得到了。不可复制的东西是不可相信的，况且大伙连一个样品也沒有看到，也不可能看到。所以说以放电方式获得不可免集的方法是不可相信的。只有鬼才相信图论中的不可避兔构形与物理学中的放电理论有联系呢！
应该说，只有坎泊给出的待着色顶点的度小于等于5的不可避免构形集才是完备的。只是坎泊在证明时把一部分不能移去两个同色的5度构形（H—构形）遗漏了。使得他的证明不完全。现在，我们只要把被坎泊遗漏了的H—构形证明是可约的，四色问题也就解决了。
坎泊给出的不可避兔集也是有理论依据的。是不可否定的。
证明四色猜测时，一般不要用具体的图，而要用非具体图的构形。当各种不可避免的构形都可约的时，就证明了猜测是正确的。在对具体图着中可以验证某种构形的可约方法是否证确。所以说对具体图的着色，是对证明过了的四色猜测的验证。
四色猜测的证明过程（或者说四色问题的解决过程），可分为两个阶段。
一个是，1879年坎泊用他创造的颜色交换技术，从平面图不可避免构形的某一围栏顶点开始，对不连通的对角链进行的颜色交换，从围栏顶点中直接空出某一种颜色，给待着色顶点着上的可约的K—构形的阶段。
二是，敢峰先生，张彧典先生和雷明先生目前仍旧使用坎泊创造的颜色交换技术，对不可直接从围栏顶点中空出任何一种颜色的H—构形，采用从该H类构形的邻角顶点经过的邻角链进行的颜色交换，使含有双环交叉链的H—构形转化成不含双环交叉链的可约的K—构进的阶段。
这两个阶段完成了坎泊所构建的平面图不可避免集中各类不可避免构形在各种情况下的可约性研究的问题。证明了“任何平面图着色时，最多四种颜色就够用了”的命题是真命题。四色定理是成立的。

雷明85639720

，，，，，，，，

雷明85639720

，，，，，，，，

雷明85639720

，，，，，，，，

雷明85639720

，，，，，，，，