过三棱柱任意两个顶点的直线共 15条，其中异面直线有多少对？

wufaxian

过三棱柱任意两个顶点的直线共 15条，其中异面直线有多少对？答案如下

由分类加法计数原理知共有异面直线15+9+6+6=36对.


答案有点看不懂，比如第一种情况以A1 B1为例，跟他异面的两点直线有7条：A1C 、C1A、C1C、C1B、B1C、BC、AC。因为题目问的是有多少对异面直线，所以A1C1、B1C1应该也有七条异面直线。其中与列举出的七条重复的，仍然应该计入。那么就应该是21对，而不是15对！


另外，这个题目能否不用分类数数的方式，利用一些组合的办法。题目说有15条两点连线。那么挑出成对的线的方法应该有\(C_{15 }^{2 }\)=105。A1B1BA面上共面的线共用\(C_{6 }^{2 }\) =15。那么3个四边形总共有45对。三角面共面的一共有三对。两个三角面是6对。
那么异面的线对应该=105-45-6=54。这显然与答案不符。请问是答案错了？还是我错了？我的方法错在哪里？

小fisher

两条直线的相互关系有平行、相交、异面三种关系
15条直线可以形成15*14/2=105对
其中平行的有6对
相交于三棱柱一个顶点的直线有5条，可以形成5*4/2=10对相交直线，6个顶点共有60对；另外三棱柱3个侧面的对角线分别相交于侧面的中心点，共有3对。（根据交点计算不容易重复或漏算）
因此，异面直线有105-6-60-3=36对

wufaxian

小fisher 发表于 2022-8-1 15:03
两条直线的相互关系有平行、相交、异面三种关系
15条直线可以形成15*14/2=105对
其中平行的有6对

谢谢回复！
相交于三棱柱一个顶点的直线有5条，请问这是怎么计算的?

我的思考过程错在哪里？可否指点一下。

小fisher

wufaxian 发表于 2022-8-1 15:25
谢谢回复！
相交于三棱柱一个顶点的直线有5条，请问这是怎么计算的?

你漏掉了A1BC这种共面关系，这样的面有6个，每个面上有3条直线，可以形成3对，6个面共18对

wufaxian

小fisher 发表于 2022-8-1 15:37
你漏掉了A1BC这种共面关系，这样的面有6个，每个面上有3条直线，可以形成3对，6个面共18对

请问你的意思是A1B 和BC共面？

小fisher

相交的两条直线肯定共面呀

wufaxian

小fisher 发表于 2022-8-1 17:30
相交的两条直线肯定共面呀

谢谢指教，我对直线共面的规则理解太狭义了。现在明白了。

请教一下。类似这种需要先逐一列举 ”各种情况“，再加总所有情况的问题，在概率和统计中多么？那有些问题包含”各种情况“数量巨大。人工一 一列举再点算似乎不太现实吧？那要怎么解决呢？