数学中国

标题: 8 个人围成一圈，选出 3 个人，全部选出的人均不相邻的情况有多少种？ [打印本页]

作者: cloudater 时间: 2022-8-1 18:36
标题: 8 个人围成一圈，选出 3 个人，全部选出的人均不相邻的情况有多少种？
8 个人围成一圈，选出 3 个人，全部选出的人均不相邻的情况有多少种？

关于这题，我家小朋友一开始用全排列做的。后来想想，万一数据大怎么办呢？

所以，想咨询一下老师，有没有其他的解法？

135
136
137
146
147
157
246
247
248
257
258
268
357
358
368
468

十六种。

作者: 时空伴随者 时间: 2022-8-2 08:50
通常是用乘法比较快，不难发现，所有选法中，每个人出现的机率是相等的，共6次，6×8=48，每种选法3人，48÷3=16

作者: 时空伴随者 时间: 2022-8-2 09:38
80个人围城一圈，选3个人，全部选出的人均不相邻的情况有多少种？
选定1，3~79选出不相邻的两人有75+74+...+1=2850种
总共2850×80÷3=76000种。

作者: 王守恩 时间: 2022-8-2 15:25
6 个人围城一圈，选3个人，全部选出的人均不相邻的情况有 2 种。
7 个人围城一圈，选3个人，全部选出的人均不相邻的情况有 7 种。
8 个人围城一圈，选3个人，全部选出的人均不相邻的情况有16种。
9 个人围城一圈，选3个人，全部选出的人均不相邻的情况有30种。
10个人围城一圈，选3个人，全部选出的人均不相邻的情况有50种。
11个人围城一圈，选3个人，全部选出的人均不相邻的情况有77种。
12个人围城一圈，选3个人，全部选出的人均不相邻的情况有112种。

2, 7, 16, 30, 50, 77, 112, 156, 210, 275, 352, 442, 546, 665, 800, 952, 1122, 1311, 1520, 1750,
2002, 2277, 2576, 2900, 3250, 3627,4032, 4466,4930, 5425, 5952, 6512,7106, 7735, 8400, 9102,
9842, 10621, 11440, 12300, 13202,14147, 15136, 16170,17250,18377,19552, 20776, 22050, 23375,
24752, 26182, 27666, 29205, 30800, 32452, 34162, 35931,37760, 39650, 41602, 43617, 45696, 47840,
50050, 52327, 54672, 57086, 59570, 62125, 64752, 67452, 70226, 73075, 76000, .............

\(a(n)=\frac{n (n - 4) (n - 5)}{6}\)

作者: luyuanhong 时间: 2022-8-2 18:37
[attach]115560[/attach]

[attach]115561[/attach]

作者: cloudater 时间: 2022-8-2 21:23

luyuanhong 发表于 2022-8-2 18:37

谢谢lu老师解惑。很清晰了。感谢。我试试讲给小朋友听听。

作者: 王守恩 时间: 2022-8-3 07:13
n 个人围成一圈，选出 k 个人，全部选出的人均不相邻的情况有多少种？

k=1: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29,
k=2: 2, 5, 9, 14, 20, 27, 35, 44, 54, 65, 77, 90, 104, 119, 135, 152, 170, 189,209, 230, 252,275, 299,
k=3: 2, 7, 16, 30, 50, 77, 112, 156, 210, 275, 352, 442,546, 665, 800, 952, 1122, 1311, 1520, 1750,
k=4: 2, 9, 25, 55, 105, 182, 294, 450, 660, 935, 1287, 1729,2275, 2940,3740,4692,5814,7125,8645,
k=5: 2, 11, 36, 91, 196, 378, 672, 1122, 1782, 2717, 4004,5733, 8008, 10948, 14688,19380,25194,
k=6: 2, 13, 49, 140, 336, 714, 1386, 2508, 4290, 7007, 11011, 16744, 24752,35700, 50388, 69768,
k=7: 2, 15, 64, 204, 540, 1254,  2640, 5148,  9438, 16445, 27456, 44200,  68952, 104652, 155040,
k=8: 2, 17, 81, 285, 825, 2079, 4719, 9867, 19305,35750, 63206, 107406,176358, 281010,436050,
k=9: 2, 19, 100, 385, 1210, 3289,  8008, 17875, 37180,  72930, 136136,  243542, 419900, 700910,

\(a(n)=\frac{(n - 1 + 2 k) (n - 2 + k)!}{(n - 1)! k!}\)

这些数字串，可是在《整数序列在线百科全书(OEIS)》不一定找得到的。

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