设方程 5x^4+4x^3+3x^2+2x+1=0 的四个根为 x1,x2,x3,x4，求 ∑(i=1,4)1／(xi^2+1)

dodonaomikiki

近来的方程，A 四次方程

fungarwai

\(f(x)=5x^4+4x^3+3x^2+2x+1,~f'(x)=20x^3+12x^2+6x+2\)
\(f(i)=5-4i-3+2i+1=3-2i,~f'(i)=-20i-12+6i+2=-10-14i\)
\(f(-i)=3+2i,~f'(-i)=-10+14i\)

\(\displaystyle \sum\frac{1}{x^2+1}=\sum\frac{1}{(x-i)(x+i)}
=\frac{1}{2i}\left(\sum\frac{1}{-i-x}-\sum\frac{1}{i-x}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2i}\left(\frac{f'(-i)}{f(-i)}-\frac{f'(i)}{f(i)}\right)
=\frac{(-10+14i)(3-2i)-(-10-14i)(3+2i)}{2i(3-2i)(3+2i)}
=\frac{62}{13}\)

luyuanhong

楼上 fungarwai 的解答很好！已收藏。

dodonaomikiki

还是有疑问：

1）   有四个根须要叠加，进行加和，
为啥这里体现不出来？什么隐藏的地方可以体现出来？

dodonaomikiki

2）A这个式子，  怎么会到
B这个式子的呢？

fungarwai

dodonaomikiki 发表于 2022-8-11 10:39
2）A这个式子，  怎么会到
B这个式子的呢？

我是在ccmmjj的帖子第一次看見這個式子的。
http://www.mathchina.com/bbs/for ... hread&tid=11222

導數除以原式是個倒數和。


我記住了，一直用到現在。

fungarwai

後來遇到有平方的，對它取了導數，再用！
還沒有想到更好的方法。
artofproblemsolving.com/community/c728438h2121954_summation_with_polynomial_roots