春风晚霞： 请继续研究

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-8-25 11:23
春风晚霞：第一，我不是不去计算，再92楼。我已经说了：由于被积函数在4到5区间上，单调减少，被积函数在 ...

你不是不去算，那也就说你会计算这两个定积分了。既然会计算，那为什么不算？现在我可以告诉你，那两个定积分中的①，积分的结果也小于区间长0.5;同时被积函数在x=0点无定义，但其原函数在x=0又有定义(即该积分为瑕积分)，②是正常积分。我期待你计算出这两个积分结果！

jzkyllcjl

春风晚霞：第一，你说的两个定积分是《吉米多维奇数学分析题解》一书中的吗，对于那两个我没有去看，我不打算研究它，你说的①，积分的结果也小于区间长0.5;同时被积函数在x=0点无定义，对此，我认为：他是可去间断点。第二，需要讨论的事你的积分区间【4，5】那个积分，根据你的解释，那个积分应当是这个区间上双曲线的线段长度，这个长度不能小于1，但你算出的是是小于1，所以我说：你算错了。算错的原因，我说了 你自己找。现在再说一点，傅里叶级数研究中无穷级数的可以逐项积分方法是经过证明过的，你现在的逐项积分方法是否可行，你没有证明，这是不是你算错的原因，请你考虑。，

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-8-25 15:26
春风晚霞：第一，你说的两个定积分是《吉米多维奇数学分析题解》一书中的吗，对于那两个我没有去看，我不打 ...

Jzkyllcjl:
       第一、请先完成《请Jzkyllcjl计算\(\int_0^{\tfrac{1}{2}}\dfrac{arctanx}{x}dx\)，结果准确到0.001》两个题，再来批评我的计算。否则，不管你说得天花乱坠都难以服众(至少我不会听你的)。你那么利害，成天这个错了，那个错了，这两个题都不会做，你的估计加统计方法岂不是坐而论道吗？

春风晚霞

       第二、关于例3计算是否错误问题的辩思
       1、实例分析
\begin{split}
【例】已知曲线的参数方程\begin{cases}
x=acos^3θ&(1)\\y=asin^3θ&(2)
\end{cases}
0≤θ≤\dfrac{π}{2}，试求其曲线全长。\qquad\qquad
\end{split}
\begin{split}
【解】:由曲线参数方程\begin{cases}
x= acos^3θ&(1)\\y=asin^3θ&(2)
\end{cases}
得其导数方程\begin{cases}
x'=-3cos^2θsinθ&(3)\\y'=3sin^2θcosθ&(4)
\end{cases}
\end{split}
所以:\(\sqrt{x'^2+y'^2}\)=\(\sqrt{9a^2cos^4θsin^2θ+9a^2sin^4θcos^2θ}\)=3a\(\sqrt{cos^2θsin^2θ}\)=3asinθcosθ
\(\int_0^{\tfrac{π}{2}}\sqrt{x'^2+y'^2}dθ\)=\(3a\int_0^{\tfrac{π}{2}}sinθcosθdθ\)=\(\dfrac{3}{2}a\)

很明显当a≤1时，曲线长度\(\dfrac{3}{2}a\)小于积分区间长度\(\dfrac{π}{2}\)。

       2、曲线长度小于积分区间长度的成因
       从1知:当被积函数是f(θ)积分间是以θ的单位为长度的，而曲线的长度单位是1(不是以θ的单位rad为单位)，这就是导致曲线长度小于积分区间长度的根本原因。例3中被积函数为f(u)(u=\(1\over x^4\))，即u的单位应是长度单位的四次乘方。因此与1一样，也就形成了曲线长度小于区间长这个不争的事实。为回复先生的垂询，我反复多次计算，结果都是一样的。我坚信泰勒展式的正确性，所以我认为例3的算法是正确的。

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2022-8-25 15:31
第二、关于例3计算是否错误问题的辩思
       1、实例分析
\begin{split}

你说的曲线长度小于积分区间长度。是以参数表示曲线表达式，不是以坐标为积分变量的的情形。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-8-26 16:56
你说的曲线长度小于积分区间长度。是以参数表示曲线表达式，不是以坐标为积分变量的的情形。

Jzkyllcjl，你知道被积函数f(x)=\(\sqrt{1+\dfrac{1}{x^4}}\)的图像是啥样的吗？你凭什么说f(x)=\(\sqrt{1+\dfrac{1}{x^4}}\)的图像在[4，5]的长度就大于1？

春风晚霞

        自春风晚霞与众网友分享|\(\int_4^5\)\(\sqrt{1+x^{-4}}dx\)|\(\approx\)0 .9961935158(精确到小数点后第十位)后，曹先生在多个主题下连发数帖批评春风晚霞的计算是错误的。其“理由”如下：
        笫一、【由于被积函数在4到5区间上，单调减少，被积函数在x=4 取得最大值1.00195，在x=5 取得最小值1.000799，积分区间长为1，将区间长乘上最大值、最小值，就得到：这个区间上被积函数的定积分取值，在1.000799与1.00195之间，即曲线段的长度大于1.000799.
第二、【从图形上看，在横坐标取值4到5之间的双曲线长度，一定大于它5-4=1.】
       春风晚霞认为曹先生的这两点批评都是错误的。
       ①、在y=\(\int_4^5\sqrt{1+x^{-4}}dx\)中，区间[4，5]是自变量x的取值范围是定义域，而y(本题是弧长)的取值区间是值域[F(4)，F(5)]。按曹先生的“理论”[F(4)，F(5)]应为[1.000799，1.00195]其区间长度为0.001151，其值远小于0 .9961935158。即使把区间[1.000799，1.00195]的左右端点分别乘以4和5后得【4.0078，5.003995】，其区间长为0.996195(这个值稍大于区间[4，5]上的弧长)但仍小于自变量取值区间长度1。这说明曹先生的“创新算法”是根本错误的。
       ②从f(x)=\(1\over x\)的图像看我们也只能得出|f(5)-f(4)|=0.05，也得不出【一定大于它5-4=1】的结论。综合①②看，曹先生的错误，主要在于分不清函数的定义域和值域。
       下面春风晚霞先给出习题①的详解，详略请参照题解比较：
①、\(\int_0^{\tfrac{1}{2}}\dfrac{arctanx}{x}dx\)，结果要求准确到0.001；
解:\(\int_0^{\tfrac{1}{2}}\dfrac{arctanx}{x}dx\)=\(\int_0^{\tfrac{1}{2}}\dfrac{1}{x}[x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^7}{7}+…]dx\)
=\(\int_0^{\tfrac{1}{2}}[1-\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{x^4}{5}-\dfrac{x^6}{7}+…]dx\)=\([x-\dfrac{x^3}{3^2}+\dfrac{x^5}{5^2}-\dfrac{x^7}{7^2}+…]|_0^\tfrac{1}{2}\)
=\(\small(-1)^{n-1}\displaystyle\sum_{k=1}^∞\dfrac{x^{2n-1}}{(2n-1)^2}\);因本题纷出了精度，所以必须讨论余项。我们令F(x)=\(\int_0^{\tfrac{1}{2}}\dfrac{arctanx}{x}dx\),则F(x)=\(\small(-1)^{n-1}\displaystyle\sum_{k=1}^N\dfrac{x^{2n-1}}{(2n-1)^2}\)+R(x)；当x=\(\small\dfrac{1}{2}\)时，0<|R(x)|<|\(\dfrac{1}{{(2n-1)^2}2^{2n-1}}\)||\(1-2^{-2}+2^{-4}-2^{-6}+…\)|≤|\(\dfrac{1}{{(2n-1)^2}2^{2n-1}}\)|，若题目中所给精度为α，则0<|R(x)|<|\(\dfrac{1}{{(2n-1)^2}2^{2n-1}}\)|<α;解这个关于n的不等式，即可求出符合条件的n值(本题n=4)，也就是说本题取前三项计算即符合要求。
这时F(\(1\over 2\))-F(0)\(\approx\)\(\dfrac{1}{2}\)-\(\dfrac{1}{{3^2}2^3}\)+\(\dfrac{1}{{5^2}2^5}\)\(\approx\)0.487.
       ②题仍留曹先生思考，若再等几天还无头绪，春风晚霞再贴出详解。