g(0)=1，g(1)=0，若有[0,1]连续函数h(x)使g(x)+h(x)单调升，证：g(x)可取[0,1]任何值

Indulged

一道分析题，急急急急急！！！！！！

假设g(x)是定义在[0,1]上的函数，g(0)=1,g(1)=0.

如果存在一个定义在[0,1]上的连续函数h(x)使得g(x)+h(x)单调上升，

证明：g(x)可以取到[0,1]内的任意实数。

elim

题：设 \(g\) 在\([0,1]\) 上有定义，\(g(0)=1,\,g(1)=0,\,h\)在\([0,1]\) 连续,
\(\qquad g+h\) 单调升. 试证 \([0,1]\subset g([0,1])\).
证：\(\because\;f=g+h\) 单调升, \(h\)连续, \(\therefore\,g(x-)\le g(x+)\small\,(0< x<1).\)
\(\qquad\)若有 \(c\in(0,1) -g([0,1])\), 则由 \(1=g(0)\le g(0+)\) 知
\(\qquad E_c=\{a\in (0,1) \mid g(x)> c, \,x\in[0,a) \}\ne\varnothing.\)令 \(x_c = \sup E_c\)
\(\qquad\)则 \(g(x_c-)\ge c \ge g(x_c+).\) 综上得 \(g(x_c-)=g(x_c+)\implies\)
\(\qquad\implies f(x_c)=c.\) 与\(\,c\,\)的取法矛盾. 可见\([0,1]\subset g([0,1].\small\quad\square\)

题目很妙。以前从来没想到过。\(g+h\)的单调升，\(h\) 的连续竟然迫使 \(g\)几乎处处连续，且满足介值定理.

luyuanhong

楼上 elim 的解答很好！已收藏。

Indulged

elim 发表于 2022-8-13 01:20
题：设 \(g\) 在\([0,1]\) 上有定义，\(g(0)=1,\,g(1)=0,\,h\)在\([0,1]\) 连续,
\(\qquad g+h\) 单调升.  ...

想请问一下，回答中的第四行“则”后面的不等式是怎么得到的？

Indulged

elim 发表于 2022-8-13 01:20
题：设 \(g\) 在\([0,1]\) 上有定义，\(g(0)=1,\,g(1)=0,\,h\)在\([0,1]\) 连续,
\(\qquad g+h\) 单调升.  ...

而且，你怎么保证g(x)的左极限和右极限存在？

Indulged

elim 发表于 2022-8-13 01:20
题：设 \(g\) 在\([0,1]\) 上有定义，\(g(0)=1,\,g(1)=0,\,h\)在\([0,1]\) 连续,
\(\qquad g+h\) 单调升.  ...

而且，最后一行应该还是g(x_c)=c吧

elim

这种问题本版块不多见，有些网友看见这种问题会直接奔溃。但这种题目锤炼数学分析功底。

回答楼主的问题。

\(\because\;f=g+h\,\)单调升,\(h\)连续, \(\therefore g(x\pm)= (f-h)(x\pm)\) 在\((0,1)\)上存在且
\(g(x-)\le g(x)\le g(x+)\)在\((0,1)\)上成立.  易见 \(1=g(0)\le g(0+)\)
故有 \(\delta>0\) 使 \(1-g(x)\le g(0+)-g(x)< 1-c\,(x\in (0,\delta))\) 即 \(g(x)>c\)
\((0< x< \delta)\), 亦即 \(\delta\in E_c\subset (0,1),\)  可见 \(c\in (0,1)-g([0,1])\)存在
\(\implies x_c=\sup E_c\)存在. 由 \(x_c\) 的取法, 显然 \(g(x_c-)\ge c\).且
\(x_c\)的任意右领域都有点\(\,x\)使 \(c\ge g(x)\) 所以 \(c\ge g(x_c+)\)。
综合已有的结果，不难得出 \(g(x_c)=c.\)

luyuanhong

楼上 elim 改进后的解答已收藏。

elim

第二个解其实是对第一个解的略作注释。看来楼主没有进一步的问题了。
他几乎对第一个解的每个论断都表示怀疑。估计这对我们这个版块也很典型。