随机变量 X 服从 [0,1] 上的均匀分布，为什么说在每个单点上的概率都是 0 ？

wufaxian

在赌场中有一种称为幸运轮的赌具.在轮子上均匀连续地刻度,刻度范围为0到1.当转动的轮子停止时,固定的指针会停留在刻度上.这样,产生的试验结果是[0,1]中的一个数,指针所指向的位置的刻度.因此样本空间是Ω=[0,1] .假定轮子是均匀的,因此可以认为轮子上的每一个点在试验中都是等可能的.但一个单点在试验中出现的可能性有多大呢?它不可能是正数,否则的话,若单点出现的概率为正,利用可加性公理,可导致某些事件的概率大于1的荒谬结论.因此单个点所组成的事件的概率必定为0.


问题：

1，单点概率为正，但是单点概率可以无穷小，怎么就会导致某些事件概率大于1？这个结论容易证明么？

2，为什么反推出单点概率必等于0。就直接用极限解释不可以么？1/n ，在n趋于无穷时极限等于0。

luyuanhong

问  随机变量 X 服从 [0,1] 上的均匀分布，为什么说在每个单点上的概率都是 0 ?

答  随机变量 X 服从 [0,1] 上的均匀分布，在 [0,1] 上每一点的概率相等。

    设在 [0,1] 上每一点的概率是 C 。由于在 [0,1] 上有无穷多个点，所以

[0,1] 上的全部概率，就等于无穷多个概率 C 相加之和。

    假如 C 是一个不趋于 0 的正数，那么无穷多个正数 C 相加之和，必定会

趋于正无穷大，这样，在 [0,1] 上的概率就会大于 1 ，这显然是不合理的。

    所以，单点上的概率 C 不可能是一个不趋于 0 的正数，它必须趋于 0 。

也就是说，单点上的概率 C 必须是一个比任何正数都小的无穷小量。

    但是，在现在的标准微积分中，是不承认无穷小量是一个数的，如果一个数

无限趋于 0 ，比任何正数都小，那么这个数就只能是 0 。所以，按照现在标准

微积分的说法，只能说单点上的概率就是 0 。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2022-8-16 10:24
问  随机变量 X 服从 [0,1] 上的均匀分布，为什么说在每个单点上的概率都是 0 ?

答  随机变量 X 服从 [0 ...

但是，在现在的标准微积分中，是不承认无穷小量是一个数的，如果一个数

无限趋于 0 ，比任何正数都小，那么这个数就只能是 0 。所以，按照现在标准

微积分的说法，只能说单点上的概率就是 0 。

————lu老师的意思是：这是一种妥协，并不严格？