【答】INVERSION TRANSFORMATION之问5，不过点O的园，反演园也不过点O

dodonaomikiki

\(             \bigodot   A             \)  不过点\(            O            \),   其反演园也不过点\(            O            \)


\(  Proof    \)
        \begin{cases}     OC  \bullet   OC'=(OA+r_1)(OB-r_2)  =R^2       \\OD  \bullet   OD'=(OA-r_1)(OB+r_2)  =R^2              \end{cases}      


      \begin{cases}     OB=\frac{R^2}{OA+r_1}+  r_2    \\OB=\frac{R^2 }{OA-r_1}-  r_2            
\end{cases}         


\(            \Longrightarrow    \frac{R^2}{OA+r_1}+  r_2=\frac{R^2 }{OA-r_1}-  r_2              \)
\(            \Longrightarrow      2r_2=R^2( \frac{1}{OA-r_1}-   \frac{1}{OA+r_1}  )            \)
\(            \Longrightarrow   2r_2= R^2  \bullet   \frac{2r_1}{OA^2-r_1^2}           \)
\(            \Longrightarrow    r_2= R^2  \bullet   \frac{r_1}{OA^2-r_1^2}           \)

dodonaomikiki

具体的展示一哈，让我们玩耍一哈
                     

\(     Set:          \)  
\(     R=20         \)
\(     r_1=3         \)
\(     OA=10         \)
\(     \Longrightarrow    r_2=400  \bullet   \frac{3}{100-9}= \frac{1200}{91}=13.2         \)
\(     \Longrightarrow     OB=\frac{400}{10+3}+13,2=\frac{400}{13}+13,2=30,77+13,2=43,97         \)