有哪些线性空间不是欧氏空间？可否举个例子？

wufaxian

请看下图关于欧氏空间的描述。其中第一个限制条件“对称正定双线性”这些高中将向量性质的时候就都证明过了。难道有什么例外情况会导致““对称正定双线性””的向量性质不成立么？如果没有，那么所有的线性空间都是欧氏空间？

视频地址：https://www.bilibili.com/video/BV1Hy4y1b7Pj?p=1&vd_source=a553e7e4f04d4c30ac8e2a3e4bb2fdba&t=338.4




其次，一些欧式空间的性质证明起来也特别怪。比如下面这个证明难道不能直接说|(α，β)|=|α||β|cosθ  ，而cosθ小于等于1，所以|(α，β)|小于等于|α||β| 成立。难道这样证明在欧氏空间有什么错误么？威慑么要像下图这样证明一整页？

liangchuxu

欧氏空间与定义的二元向量的实函数运算有关。可以是线性空间但不是欧氏空间。

wufaxian

liangchuxu 发表于 2022-8-20 09:32
欧氏空间与定义的二元向量的实函数运算有关。可以是线性空间但不是欧氏空间。

谢谢回复。看过你的回答以后我还是有点似懂非懂。欧式空间与线性空间的区别是不是欧式空间上讨论的都是实函数？
比如线性空间上讨论的都是向量a b ，然后讨论的都是“点积”。
而欧式空间上讨论的都是函数，然后讨论的都是“内积”

其次 向量a=(1,2,3)  可以说这是一个三位向量。1、2、3是向量的元素、或者说是在三个标准基底上的投影坐标。

你举的例子“二元向量的实函数”<α，β>，称为内积。前半句看α β 似乎是向量的元素，后半句又说内积。似乎是要  α乘β再做积分。  所以α β 到底是二元向量的元素？还是本身可以看作参与内积的一个向量？

wufaxian

liangchuxu 发表于 2022-8-20 09:32
欧氏空间与定义的二元向量的实函数运算有关。可以是线性空间但不是欧氏空间。

你举的例子中引出了内积等同于积分。就这个问题我总是无法真正理解。还请你指教。我的困惑在这个帖子的前半部分有比较详细的表述：http://www.mathchina.com/bbs/for ... =2053337&extra=

我发现有类似困惑的人网上还有很多，比如知乎上这个回答的评论中。很多人也有类似的困惑。但是没有看到有用的回复予以解答。

函数的内积为什么要这么定义？ - RagingBoson的回答 - 知乎
https://www.zhihu.com/question/29754921/answer/48219859

liangchuxu

wufaxian 发表于 2022-8-20 10:41
你举的例子中引出了内积等同于积分。就这个问题我总是无法真正理解。还请你指教。我的困惑在这个帖子的前 ...

内积是可以定义的。几何空间的向量点积是内积的一种。既然内积可以定义，那么将两个连续函数的内积定义为它们在区间乘积定积分何尝不可以。只要最终结果是一个实数，且该运算满足4个条件即可。

liangchuxu

wufaxian 发表于 2022-8-20 10:41
你举的例子中引出了内积等同于积分。就这个问题我总是无法真正理解。还请你指教。我的困惑在这个帖子的前 ...

\(\alpha--f\left( x\right)，\beta--g\left( x\right)\)