以 ΔABC 边 a,b,c 为边正三角形面积 S1-S2+S3=√3/2，sinB=1/3,sinAsinC=√2/3，求 b

王守恩

\(记△ABC内角A, B, C的对边分别为a, b, c,\)

\(以a, b, c为边长的三个正三角形面积分别为S_{1}, S_{2}, S_{3},\)

\(且S_{1}-S_{2}+S_{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \sin B=\frac{1}{3}.\)

\((1)，求\ S_{△ABC}\)

\((2)，若\sin A\sin C=\frac{\sqrt{2}}{3}, 求\ b.\)

\(解：设a=k\sin A，b=k\sin B，c=k\sin C,\)

\(S_{1}-S_{2}+S_{3}=\frac{((k\sin A)^2-(k\sin B)^2+(k\sin C)^2)\sin(60^\circ)}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\((k\sin A)^2-(k\sin B)^2+(k\sin C)^2=2\)

\(余弦定理：\)

\(2(k\sin A)(k\sin C)(\cos B)=(k\sin A)^2-(k\sin B)^2+(k\sin C)^2=2\)

\(2k^2(\sin A\sin C )(\cos B)=2\)

\(2k^2(\frac{\sqrt{2}}{3})(\frac{\sqrt{8}}{3})=2\)

\(k=\frac{3}{2}\)

\((1)，S_{△ABC}=\frac{(k\sin A)(k\sin C)\sin B}{2}=\frac{\sqrt{2}}{8}\)

\((2)，b=k\sin B=\frac{3}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\)


\(或，\frac{S_{△ABC}}{2}=\frac{\frac{(k\sin A)(k\sin C)\sin B}{2}}{2(k\sin A)(k\sin C)(\cos B)}=\frac{\sin B}{4\cos B}\ \ \ S_{△ABC}=\frac{\sqrt{2}}{8}\)

luyuanhong

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alize

用高一学的可以做出来