解二阶微分方程 y"-y=e^x ，求 y

马奕琛

\(已知y''-y=e^{x},求y\)

luyuanhong

马奕琛

\(这里可以提供一个更有意思的解法。原方程可以写为y''-y'+y'-y=e^{x}\)

\(那么就有：e^{-x}y''-e^{-x}y'+e^{-x}y'-e^{-x}y=1,\)

\(两边同时积分：e^{-x}y'+e^{-x}y=x+C_{1}\)

\(两边同乘e^{2x}：e^{x}y'+e^{x}y=xe^{2x}+C_{1}e^{2x}\)

\(两边再同时积分：e^{x}y=\dfrac {1}{2}xe^{2x}+C_{1}e^{2x}+C_{2}\)

\(最后得到结果y=\dfrac {1}{2}xe^{x}+C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}\)