如何用多面体三等分正方体

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如何用多面体三等分正方体

作者 : 席弘力

内容摘要：数学界中，前人已发现正方体可被简单几何体六等分、四等分、二等分等等；自古希腊起，任意角的三等分被列入几何难题，至今已被证明不可能，由此可见数学中三等分有极大难度。而目前发现有 3 种不同的非正则造型可三等分正方体，此造型是由 8 个四面体组成的多面体。这样的造型都基于论文《如何用一张纸连续分隔空间》中图 7 的四连体的串形结构的模板。其 8 个四面体造型是由四连体 2 等分而来。

关键词：多面体三等分正方体

引言：在白银立方体纸艺系列中，简单的尝试了白银长方形的对角线 1/2 折叠。发现 A4 两根对角线加一根 A5 等分线共三根折痕（见《如何用一张纸连续分隔空间》论文图 6 的一半）的对角 1/2 折叠造型就是正方体的两个邻接正方形面的各自的 1/4 。“四胞胎”“半标准模版”（见《如何用一张纸连续分隔空间》论文图 7）多一道竖 1/2 折痕可以折叠 8 个开口四面体造型。而一个正方体由 24 个这样的开口四面体构成。遂有了“四胞胎”“半标准模版”三等分正方体猜想研究以及后续三种符合三等分的造型。

在数学中，正方体是一种基础而完美的图形，基于前人的研究和相关资料的查阅，根据论文《CUBE TRISECTION》发现前人已对能够三等分正方体的非简单几何体提出研究，结果如下：

Figure 1: Puckered Trisection, Thomas Borrelli, 1987. Each drawing shows the three pieces of a trisection and the cube with its three trisectioning traceries.



Figure 2: Extruded Trisection, anonymous, 1990.



Figure 3: Scoop and Pile variant of Cubing the Cube and Trisecting Each Cube along the Common Axis Trisection, David Weiss, 1978.



Figure 4: Latitudinally Cut Trisection, Daniel Baccari, 1978.



以及对希尔伯特第 18 问题：用全等多面体构造空间和《如何用一张纸连续分隔空间》（常文武、梁海声著）的学习，发现一种每一面边长均为 2：√3：√3 的三角形所构成的四面体能连续分隔和填充空间。通过实践操作发现在边长比为 1：√2 的长方形纸张中通过折叠能实现这样的分隔。

声明：本文研究对象是可以三等分立方体的非正则结构，而不讨论正则构造。

如下，定义正则构造有三种：

1. 正方体切片：



2. 五面体：



3. 拼合的两个四棱锥：



（此正则结构是以下三等分造型的基础造型）

问题的提出：

能否用每一面边长均为 2：√3：√3 的三角形所构成的四面体并用折叠的方式实现对正方体不同的等分方式呢？

一张纸上的 30 条折痕，每一条都有峰线和谷线两种折叠方式，共有 2^30 种折叠方式，折痕如图 1 。


图 1

问题的解决：

将一个正方体等分为 24 个四面体，每一四面体如图 2 。


图 2

证明：假定一个边长为 2 的正方体，可算出其体对角线为 2√3 ，则 AC 为半体对角线为 √3 ，AD 长为正方体边长的 1/2 。此四面体的体积为 = (AD×BD×DC×1/2)／3 ，而 24 个组成的立方体体积为 8 。

这样的四面体恰巧是可填充空间的四面体的 1/2 。

经过与指导老师的探讨和研究，意外发现有一种折叠方式折出的多面体可通过三个互补的形式来构成一个完整的正方体，正方体的六个面的对角线均以折叠的方式所表现，而这样造型的多面体可三等分正方体。

该多面体的正是由 8 个 1/24 正方体的四面体在空间上排列组成，即：可将正方体 3 等分。通过对其的深入研究发现正方体是由一个此造型的多面体沿轴进行两次旋转得到。我们不妨定义这样可三等分正方体的多面体为：1/3 正方体。如图 3：八个四面体 ABCD，ACDH，CHDK，DHGI，EHFD，HDGF，DGJI，DKIJ 都全等。

AJ,BD 为正方体的两条体对角线，由此造型以 AJ 为轴连续旋转两次 120° 所扫过的形状则可构成边长为 2 的正方体。


图 3

通过不断尝试新型折法，得到三种方法可将正方体三等分，也就是说有三种不同的 1/3 正方体。三种造型如下：

组合 A : 两个对直角


图 4


图 5





图 6

组合 B ：两个邻直角


图 7


图 8





图 9

组合 C ：一个直角


图 10


图 11





图 12

其峰谷线如下（红线为谷线；蓝线为峰线）

(A): 两个对直角


图 13

(B)：两个邻直角


图 14

(C)：一个直角


图 15

其中每一种 1/3 正方体的造型互补形成的正方体如下：


图 16


图 17


图 18

可能构造这样 1/3 正方体的造型有 C(24,8)=735471 种。而 3 个相同的造型就能互补为一个完整的正方体。

由此我们可以提出一个大胆的猜想：存在特殊的 A、B、C 三个不同的多面体，各自均可以如上所述三等分一个正方体，进而这三个不同的多面体 A、B、C还可以无缝填充组成一个正方体。

具体应用：这样的类似折痕可用于建筑、太空、医学、机械等多个领域，可通过折叠技术有效地提高空间利用率、完善材料的空间结构和可操作性，例如：航天技术中的太阳能板、能够与机器人结合实现在恶劣环境下移动、可在没有自身驱动器的情况下运动并能融化自毁的微型机器人可用于清理堵塞血管。可以说，将几何和折叠运用于现代化技术，已不仅具有数学和艺术的意义，更存在了广泛的应用价值。

参考文献：

1.《白银长方形  神奇的立体纸艺造型》（作者：梁海声）
2. Sommerville D M Y. Division of space by congruent triangles and tetrahedral. Proc Royal Society of Edinburgh ,1923,43;85
3. Senechal M. Which Tetrahedra Fill Space? Mathematics Magazune,1981,54(5):227
4. Frost J, Cagle P. An Amazing, Space Filling, Non-regular Tetrahedron【EB/OL】.【2012-04-12】:
http://mathforum.org/pcmi/hstp/resources/dodeca/paper.html.
5. 《如何用一张纸连续分隔空间》（作者：常文武、梁海声）文献出处：科学 2012 年 03 期