说说复合函数

刘付来

一，从复合函数的定义说起

目前公认的复合函数的定义是：设$y=f\left( u\right)，u=g\left( x\right)，$，当$x$在$u=g\left( x\right)$的定义域$D_g$
中变化时，$u=g\left( x\right)$的值在$y=f\left( u\right)$的定义域$D_f$内变化，因此变量$x$与$y$之间通过变量$u$，
形成的一种函数关系，记为$y=f\left( u\right)=f\left[ g\left( x\right)\right]，$$x$为自变量，$u$为中间变量，$f\left( g\left( x\right)\right)$为因变
量。事实上，外层函数$f\left( u\right)$与复合函数$f\left[ g\left( x\right)\right]$一般情况下是不相等的，它们之间用”=“
连接欠妥，建议用‘’$y=f\left( u\right)\Rightarrow f\left[ g\left( x\right)\right]，u=g\left( x\right)$来表达。

二：由原定义引起的歧义
例如，已知$f\left( u\right)=u^2-2u+2，u=g\left( x\right)=x+1$
则复合函数$f\left[ g\left( x\right)\right]=\left( x+1\right)^2-2\left( x+1\right)+2=x^2+1$
棍据原定义可得：$f\left( u\right)=f\left[ g\left( x\right)\right]=x^2+1$，由此可以得到三个等式
$f\left( u\right)=f\left[ g\left( x\right)\right]$.......（1）
$f\left( u\right)=x^2+1$.................................................（2）
$f\left[ g\left( x\right)\right]=x^2+1$.........................（3）
三个等式中，只有（3）是正确的。当$f\left( u\right)$的自变量$u$也用$x$表示时，其产生的歧义更加明显。例如，
有这样一个简单题目：
已知$f\left( x+1\right)=x^2+1$，求$f\left( x\right)$
根据原定义，可得$f\left( x\right)=f\left( x+1\right)=x^2+1$
由此可得：$f\left( x\right)=x^2+1$..........（1）
$f\left( x+1\right)=x^2+1$...........................（2）
因此有人对该题的解答是：
解一；$f\left( x\right)=\left( x+1\right)^2+1$
解二；$f\left( x+1\right)=x^2+1=\left( x+1\right)^2-2\left( x+1\right)-2，$
令$x+1=u，\therefore f\left( u\right)=u^2-2u-2，$即$f\left( x\right)=x^2-2x-2$
显然解法一是根据歧义解答的，是错误的。解二是正确的，它还有另种解法
已知$f\left( x+1\right)=x^2+1$
令$u=x+1，x=u-1$，将等式两边的$x$都置换成$u$得
$f\left( u\right)=\left( u-1\right)^2+1=u^2-2u+2$
即；$f\left( x\right)=x^2-2x+2$

参考文章：复合函数定义探析（2019.06.18）