请Jzkyllcjl计算\(\int_0^{\tfrac{1}{2}}\dfrac{arctanx}{x}dx\)，结果准确到0.001。

elim

准备抄袭．哈哈哈哈哈哈哈哈哈

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-8-26 08:29
请你将《吉米多维奇数学分析题解》那两个题号说一下，我去查看。

①题吉米多维奇《数学分析习题集题解》笫4册P282页(10)题;
②题吉米多维奇《数学分析习题集题解》笫3册P311页第2286页。

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2022-8-26 02:16
①题吉米多维奇《数学分析习题集题解》笫4册P282页(10)题;
②题吉米多维奇《数学分析习题集题解》笫3 ...

我没有你那个版本，请说一下是第几题。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-8-26 16:49
我没有你那个版本，请说一下是第几题。

①题参见吉米多维奇《数学分析习题集》2932题第(10)小题。
②题参见吉米多维奇《数学分析习题集》2286题。《习题集》只有答案和证明提示，无详细解答。《习题集题解》虽有解答，但并不详细，根据你反复发帖的认知看，这些题解你未必看得懂。

elim

jzkyllcjl 前不久还在改革积分理论呢，畜生不如．

春风晚霞

Jzkyllcjl地改革就是想根据“狗要吃屎”的事实，改变“人不吃屎”的现状。

mathmatical

九江一些年轻人，永远低智惰落，不学无术，需要吊打

春风晚霞

       自春风晚霞与众网友分享|\(\int_4^5\)\(\sqrt{1+x^{-4}}dx\)|\(\approx\)0 .9961935158(精确到小数点后第十位)后，曹先生在多个主题下连发数帖批评春风晚霞的计算是错误的。其“理由”如下：
        笫一、【由于被积函数在4到5区间上，单调减少，被积函数在x=4 取得最大值1.00195，在x=5 取得最小值1.000799，积分区间长为1，将区间长乘上最大值、最小值，就得到：这个区间上被积函数的定积分取值，在1.000799与1.00195之间，即曲线段的长度大于1.000799.
第二、【从图形上看，在横坐标取值4到5之间的双曲线长度，一定大于它5-4=1.】
       春风晚霞认为曹先生的这两点批评都是错误的。
       ①、在y=\(\int_4^5\sqrt{1+x^{-4}}dx\)中，区间[4，5]是自变量x的取值范围是定义域，而y(本题是弧长)的取值区间是值域[F(4)，F(5)]。按曹先生的“理论”[F(4)，F(5)]应为[1.000799，1.00195]其区间长度为0.001151，其值远小于0 .9961935158。即使把区间[1.000799，1.00195]的左右端点分别乘以4和5得积分后【4.0078，5.003995】，其区间长为0.996195(这个值稍大于区间[4，5]上的弧长)但仍小于自变量取值区间长度1。这说明曹先生的“创新算法”是根本错误的。
       ②从f(x)=\(1\over x\)的图像看我们也只能得出|f(5)-f(4)|=0.05，也得不出【一定大于它5-4=1】的结论。综合①②看，曹先生的错误，主要在于分不清函数的定义域和值域。
       下面春风晚霞先给出习题①的详解，详略请参照题解比较：
①、\(\int_0^{\tfrac{1}{2}}\dfrac{arctanx}{x}dx\)，结果要求准确到0.001；
解:\(\int_0^{\tfrac{1}{2}}\dfrac{arctanx}{x}dx\)=\(\int_0^{\tfrac{1}{2}}\dfrac{1}{x}[x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^7}{7}+…]dx\)
=\(\int_0^{\tfrac{1}{2}}[1-\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{x^4}{5}-\dfrac{x^6}{7}+…]dx\)=\([x-\dfrac{x^3}{3^2}+\dfrac{x^5}{5^2}-\dfrac{x^7}{7^2}+…]|_0^\tfrac{1}{2}\)
=\(\small(-1)^{n-1}\displaystyle\sum_{k=1}^∞\dfrac{x^{2n-1}}{(2n-1)^2}\);因本题纷出了精度，所以必须讨论余项。我们令F(x)=\(\int_0^{\tfrac{1}{2}}\dfrac{arctanx}{x}dx\),则F(x)=\(\small(-1)^{n-1}\displaystyle\sum_{k=1}^N\dfrac{x^{2n-1}}{(2n-1)^2}\)+R(x)；当x=\(\small\dfrac{1}{2}\)时，0<|R(x)|<|\(\dfrac{1}{{(2n-1)^2}2^{2n-1}}\)||\(1-2^{-2}+2^{-4}-2^{-6}+…\)|≤|\(\dfrac{1}{{(2n-1)^2}2^{2n-1}}\)|，若题目中所给精度为α，则0<|R(x)|<|\(\dfrac{1}{{(2n-1)^2}2^{2n-1}}\)|<α;解这个关于n的不等式，即可求出符合条件的n值(本题n=4)，也就是说本题取前三项计算即符合要求。
这时F(\(1\over 2\))-F(0)\(\approx\)\(\dfrac{1}{2}\)-\(\dfrac{1}{{3^2}2^3}\)+\(\dfrac{1}{{5^2}2^5}\)\(\approx\)0.487.
       ②题仍留曹先生思考，若再等几天还无头绪，春风晚霞再贴出详解。