观察到一个黑色的乌鸦是否影响所有母牛都是白色的概率？

wufaxian

关于关于答案有两处疑问(红色下划线)
1，为什么P(B|A)=P(B), 既然P(A|B)是需要讨论的问题，为什么P(B|A)=P(B)就天然成立呢？后面又说“ Since the probability of observing a (black)crow is no affected by the truth of our hypothesis.”，所以“观察到一只乌鸦” 和  “观察到一只黑色乌鸦”  是同一件事情么？如果不是，那么这两者之间有什么关系呢？


2，为什么50%母牛是白色可以成为A的补集，进而有\(P\left( A^c\right)\) =1-p，  难道不存在60%的母牛是白色这种集合？还是说50%在这里不具备具体数值含义，只是表明一个A的否命题？看起来应该有，具体的数字含义。因为答案当中有这么一句。“ and it is white with probability 1/2”



题目：
归纳法的悖论.考虑一个命题,但不知道命题的真伪.如果我们看到许多例子与这个命题相匹配,那么我们就增加了对这个命题为真的信心.这些推论方法称为(从哲学意义上,不是从数学上的)归纳推论法.现在考虑一个命题“所有的母牛是白色的”.其等价的命题为“凡不是白色的就不是母牛”.当我们观察到几只黑色的乌鸦的时候,我们的观察显然与这个命题是相适应的.但是这些观察会不会使得命题“所有的母牛是白色的”为真的可能性更大一些呢? 为分析这种情况,我们考虑一个概率模型:



答案：

Thus, the observation of a white cow makes the hypothesis “all cows are white” more likely to be true.

wufaxian

1. 因为 A 和 B 是独立事件，所以有 P(A∩B)=P(A)P(B)，即 P(A|B)=P(A)且 P(B|A)=P(B)。“X: 观察到一只乌鸦”和“Y: 观察到一只黑色的乌鸦”不是一个事件，后者是“X: 观察到一只乌鸦”且“Z: 乌鸦是黑色的”，所以 P(Y)=P(X∩Z)=P(X)P(Z|X)，因为“所有乌鸦都是黑色的”为真，即必然事件，所以 P(Z|X)=1 ，那么事件 X 和事件 Y 的概率就是相等的，但并非是同一事件。

2. 事件 A 的补设置为“50%的母牛是白色”是人为规定，事实上你可以自由的设置一组先验概率分布，比如[“所有母牛都是白色”，“76.777%的母牛是白色”，“1.2%的母牛是白色”]然后赋予它们各自的概率，而问题中只是为了分析方便，所以规定要么“100%”要么“50%”，其余的事件概率被赋值为 0 。

ps. 整个分析的目的不是为了搞清楚究竟有多少比例的母牛是白色，而是为了说明直觉意义上的“归纳推论方法”是否有效（是否内涵不一致性），结论是“推理方法是有效的”。“观察到一只黑色的乌鸦”并不会对我们判断“所有奶牛都是白色的”命题的真假有所帮助，而“观察到一只白色的奶牛”可以增强我们对“所有奶牛都是白色的”命题为真的“信心”，即后验概率相比先验概率变大了。



-------------------这个回复不知道对不i对