关于\(\int_0^1 x^m(Lnx) ^n\)dx的解答及其在计算\(\int_0^1 x^x\)dx中的应用

春风晚霞

一、关\(\int_0^1 x^m(Lnx) ^n\)dx的解答
      1、 【分析】
      ①、设F(x)是f(x)的一个原函数，而上限函数\(\int_0^x f(x)dx\)表示F(x)+C中C=0的那个原函数。因此，若f(x)在x=0处无定义时，则可补充定义F(0)=0。
       ②、因为\(\int_0^1 x^m(Lnx) ^n\)的被积函数为两个因式的乘积，故本题宜用分部积分法处理：在\(\int_0^1 x^m(Lnx) ^n\)dx中，令\(v(x)\)=\(Ln^n(x)\)，\(u(x)dx\)=\(x^m\)dx，则\(u(x)\)=\(\dfrac{x^{m+1}}{m+1}\)；\(dv(x)=\dfrac{nLn^{n-1}(x)}{x}\)，所以\(I_n\)=\(\int_0^1 x^m(Lnx) ^n\)dx=\(\dfrac{x^{m+1}}{m+1}Ln^n(x)|_0^1\)\(-\dfrac{n}{m+1}\int_0^1 x^m Ln^{n-1}(x)dx\)\(=-\dfrac{n}{m+1} I_{n-1}\)且\(I_0\)\(=\int_0^1 x^m\)dx\(=\dfrac{1}{m+1}\)
       2、【解】：
       根据分析，我们有\(I_n\)=\(\int_0^1 x^m(Lnx) ^n\)dx=\(\dfrac{n}{m+1}x^{m+1}Ln^n(x)|_0^1\)\(-\dfrac{n}{m+1}\int_0^1 x^mLn^{n-1}(x)dx\)\(=-\dfrac{n}{m+1} I_{n-1}\)，所以：
\(I_n\)\(=-\dfrac{n}{m+1} I_{n-1}=\)\(\left(-\dfrac{n}{m+1}\right)\)\(\left(-\dfrac{n-1}{m+1}\right)\)\(\left(-\dfrac{n-2}{m+1}\right)\)……\(\left(-\dfrac{1}{m+1}\right)\)\(\left(\dfrac{1}{m+1}\right)\)
         即：\(\int_0^1 x^m(Lnx) ^n\)dx\(=(-1)^n\)\(\dfrac{n!}{(m+1)^{m+1}}\)【解毕】
  

春风晚霞

二、应用\(\int_0^1x^m(Lnx)^n\)计算\(\int_0^1 x^x\)dx\(\quad\)(精确到\(10^{-10}\))
【解】\(\mathbf{∵}\)\(\;\)\(x^x=e^{xLnx}\)\(=\displaystyle\sum_{k=0}^∞ \frac{1}{k!}(xLnx)^k\)(把\(e^{xLnx}\)展开成关于xLnx的泰勒级数)。
\(\mathbf{∴}\)\(\;\)\(\int_0^1x^xdx\)\(=\displaystyle\sum_{k=0}^∞ \int_0^1\frac{1}{k!}(xLnx)^k\)\(=\displaystyle\sum_{k=0}^∞ (-1)^k\frac{1}{(k+1)^{k+1}}\)。\(\large因为本题明确告诉了精确度，所以必须讨论余项。不妨设前n项的和符合要求，则\)\(\int_0^1x^xdx\)\(=\displaystyle\sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{1}{(k+1)^{k+1}}\)\(+\displaystyle\sum_{j=n+1}^∞ (-1)^j\frac{1}{(j+1)^{j+1}}\).
其中|R(x)|<|\(\frac{1}{(k+1)^{k+1}}\)(\(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}\)\(+\frac{1}{2^3}\)+…+\(\frac{1}{2^m}\)…)\(=\frac{1}{(n+1)^{n+1}}\)\(\;\)\(\mathbf{∴}\)\(\;\)|R(x)|≤\(\frac{1}{(n+1)^{n+1}}\)，当所铪精确度为α时(如附图)，则有|\(\frac{1}{(n+1)^{n+1}}\)|<α，解这个关于n的不等式得n的值(本题α=\(10^{-10}\)，解得n=10)
\(\mathbf{∴}\)\(\;\)\(\large\int_0^1x^xdx\)=\(\displaystyle\sum_{k=0}^{10} (-1)^k\frac{1}{(k+1)^{k+1}}\)\(\approx\)\(\large0.5334305107\).【解毕】