证明：∫(0,1)(x-1-xlnx)／[xlnx-x(lnx)^2]dx=γ ，γ 是 Euler-Maschroni 常数

马奕琛

一些综合性较强的竞赛题

马奕琛

\(问题二证明：\)
\(a_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac {1}{k^{2}}=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac {1}{k^{2}}-\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac {1}{k^{2}}=\dfrac {π^{2}}{6}-\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac {1}{k^{2}},\)
\(注意到\int_{n}^{+\infty}\dfrac {1}{(x+1)^{2}}dx＜\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac {1}{k^{2}}＜\int_{n}^{+\infty}\dfrac {1}{x^{2}}dx，\)
\(则\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac {1}{k^{2}}=\dfrac {1}{n+θ}，0＜θ＜1，\)
\(则a_{n}=\dfrac {π^{2}}{6}-\dfrac {1}{n+θ_{1}}，同理可得b_{n}=\dfrac {π^{2}}{8}-\dfrac {1}{4n-2\theta_{2}},其中\theta_{1,2}∈(0,1),\)
\(则\displaystyle \lim_{n \to \infty}n(\dfrac {b_{n}}{a_{n}}-\dfrac {3}{4})=\displaystyle \lim_{n \to \infty}n(\dfrac {\dfrac {3}{n+\theta_{1}}-\dfrac {1}{n-\dfrac {1}{2}\theta_{2}}}{\dfrac {2π^{2}}{3}-\dfrac {4}{n+\theta_{1}}})=\dfrac {3-1}{\dfrac {2π^{2}}{3}}=\dfrac {3}{π^{2}}\)

luyuanhong

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马奕琛

问题一解答过程

马奕琛

求助题三过程，
题四已经有思路：证明f(x)≡1是唯一解即可

马奕琛

以下是第三题和第四题的答案

luyuanhong

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wilsony

趣题精彩！

ccmmjj

很好，很精彩的题目解法。