林开亮：从 √2 是无理数引出的一个数论研究与普及故事——元老逝世一周年纪念

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林开亮：从 √2 是无理数引出的一个数论研究与普及故事——元老逝世一周年纪念

作者 | 林开亮（西北农林科技大学）

来源 |《数学通报》 2022 年第 61 卷第 4 期

当笔者还是一名大学生时，读到王元院士写的数学家传记《华罗庚》，进一步坚定了学习研究数学的决心。博士毕业工作以后，精力逐渐转向数学普及，在《数学文化》期刊上发表了一些文章，有幸得到元老的肯定与鼓励，又坚定了从事数学普及的选择。在元老逝世一周年之际，我们这里分享一个数论研究普及的故事，以示缅怀。

数论有悠久的历史。在公元前 300 年左右，古希腊数学家欧几里得编纂《几何原本》十三卷，其中涉及数论的有四卷，分别是第七、八、九、十卷，在第七卷有求两个正整数最大公因数的欧几里得算法、还有关于质数整除性质的欧几里得定理（若 p|ab ，则 p|a 或 p|b ），第九卷有质数无穷的叙述与证明，第十卷则有是无理数的证明。参见[10]第 4 章。

无理数的发现（通常归功于毕达哥拉斯学派），在整个数学史上都是光辉的一页。我们的故事也是从的无理性引出的。事实上，古希腊人对是无理数的表述，用的是几何语言，欧几里得如是说：“正方形的对角线与边长不可公度”。（欧几里得证明了更一般的结论，若 n 不是完全平方数，则 √n 不可公度。）它实际上等价于下述关于丢番图方程的结果：a^2=2b^2 没有正整数解。在这个形式下，考虑奇偶性，用反证法很容易证明结论。20 世纪著名的英国数学家 G.H.Hardy 写过一本著名的小册子《一个数学家的辩白》，举了两个例子以说明什么是“真正的”数学定理——即每个数学家都会承认是第一流的那些定理，这两个例子分别是质数无穷（证明归功于欧几里得）与 √2 的无理性（证明归功于毕达哥拉斯）。值得注意的是，这两个定理的经典证明，都是用反证法。它们是如此经典，几乎出现在每一本涉及数论的科普书中。

说到数学科普书，有一本是引人注目的。这就是奥地利数学家 M.Aigner 和德国数学家 G.M.Ziegler 编纂的 Proofs from the Book ，中译本叫《数学天书中的证明》。按华东师范大学数学系詹兴致教授的建议，一个更好的译名也许是《精彩的数学证明》，这个书名的灵感源于 20 世纪著名的数学家 P. Erdos ，他一直说：“上帝有一本书，里边收录了完美的证明。”顺便提一句，元老和中科院数学所的数学史专家李文林教授曾经合译了 Erdos 的传记《我的大脑敞开了》。

Proofs from the Book 曾获得美国数学会 2018 年度的 Leroy P. Steele 奖。书中分五个部分，分别是数论、几何、分析、组合和图论，汇集了历史上许多精彩的优美证明。比如组合部分，收入了 Erdos 本人的一个定理，Erdos-Ko-Rado 定理（1938 年），其中 Ko 是中国数学家柯召。再如数论部分的开篇，对质数无穷，给出了六个不同的证明。这一部分也谈到了无理数，但主要是证明 π 的无理性。实际上，从 √2 的无理性出发，也可以引出极精彩的故事。这就是我们接下来要跟诸位分享的。

1983 年，正是 Erdos 与陈省身（与华罗庚比肩而立的中国数学家，如元老所洞察到的，陈先生对数论也情有独钟）同时获得 Wolf 数学奖的那一年，加拿大数学家 E.J.Barbeau 在美国数学协会的期刊《数学杂志》上发表了一篇文章，试图将的无理性推广。他试图回答下述问题：



因此，我们可以说，Barbeau 的问题其实被反复解决了。不过事实上，这些作者中，只有 Vincenzi-Paolillob-Rizzo 以及笔者本人了解 Bar-beau 的文献。值得注意的是，这些作者除了Robinson 这个唯一的例外，其他人都不是研究数论的。我们选几位介绍，分别是 McMullen ，Robinson 和蔡进一。

最引人注目的是 C. T. McMullen ，他是 1998 年 Fields 奖得主，其研究领域是复动力系统、双曲几何与 Teichmüller 理论。他的得意弟子 Maryam Mirzakhani 是首位女性 Fields 奖得主（2014年），可惜的是于 2017 年英年早逝。Mc-Mullen 在其论文[14]中不仅证明了定理 1 ，而且还给出以下结果：



接下来我们介绍一下 R. M. Robinson（1911—1995）。估计大多数人都没听说过这位 Robinson ，但一定听过他夫人的大名：Julia Robinson（1919-1985）。Julia 因在 Hilbert 第十问题方面的工作而著名，曾担任美国数学会会长，是首位当选美国科学院院士的女数学家（1975年）。Julia 的姐姐是 C. Reid ，著名的数学家传记《希尔伯特》、《库朗》、《奈曼》的作者。据她讲，正是她妹夫 R. M. Robinson 1952 年与 D. H. Leh-mer 等合作、用计算机编程测试梅森数的质性而发现新的梅森质数这一激动人心的消息，开启了她的写作生涯。Julia 事实上是 Robinson 在伯克利加州分校数论班上的学生。Robinson 在数论领域的工作我们了解甚少，[17]发表在《美国数学月刊》的问题解答专栏，也许是他生前发表的最后一篇文章，编辑赞赏它是“一篇优美的短文”，遗憾的是，《美国数学月刊》所发表的解答不是他本人的，而且看起来有问题，作为对 Robinson 介绍的收尾，我们介绍他的一项数论工作，读者从中也许可以体会到研究工作的艰辛。1962 年，为庆祝 G. Polya 获得博士学位 50 周年，Robinson 写了一篇有影响的文章（其续篇发表在 1964 年的《数学年刊》），其中提出一个猜想：



15 年之后，在 Madan-Pal 以及 Cassels 的工作的基础上，Robinson 才发表文章证明了上述猜想。

最后，我们来介绍一下蔡进一等人的工作。蔡进一教授（现在美国威斯康星麦迪逊大学）及其合作者（包括付治国，现在东北师范大学）是在理论计算机领域，他们在做计数问题计算复杂性分类时遇到这个问题。据付治国教授讲，他们经常要考虑矩阵特征值是不是单位根的问题，而在其文章中就需要一个整性独立条件。估计正是这个需求，导致数论出身的 K. Girstmair 加入蔡进一等人的合作。不过，遗憾的是，文中给出的证明过于复杂。然而，文中介绍了更一般的线性无关问题，对于热衷数论的朋友，倒是值得了解。例如，其中一个著名的公开问题，是 Chowla-Milnor 猜想。它是由当代著名数学家 J.Milnor 在 1983 年提出的。也许你会觉得奇怪，以几何拓扑工作闻名的 Milnor ，何以会提出一个关于数论的猜想？这也许仅仅是“数学只有一个连通分支”的强有力的证据。顺便说一句，据 J.Simons 讲，他当初之所以离开数学下海经商，就是因为想证明从几何上出来的一个数是无理数的某个难题挫败了他。

笔者之所以会考虑这个问题，纯属偶然。2020 年秋季学期，为本校 2020 级数学系新生准备“新生研讨课”时，笔者偶然（独立于 Barbeau）想到问题 1（这与我在数学史方面的兴趣密不可分）。原本是作为例子在第一堂课分享给大一新生，旨在启发学生发散思维，主动提问。两个月以后，笔者一时兴起，捡起这个问题，开展研究。在师友的指导激励下，最终解决了这一问题，后来查阅文献，才了解到这一结果（定理 1）不是新的，而且与之等价的结果（定理 2，定理 3）也多次出现。当时笔者偶然得知，恰逢中科大数学院期刊《蛙鸣》复刊，于是将这一成果写成综述投稿。回顾起来，文中有两个关键结果是值得了解的，介绍如下：



致谢

本文基于作者在湘潭大学和北京师范大学所作的报告“从谈起：正多边形对角线比值的无理性”以及在中科大数学院《蛙鸣》期刊发表的文章。感谢湘潭大学易年余教授、北京师范大学李建华教授、首都师范大学李克正教授、山东大学李良攀教授、许光午教授、华东师范大学詹兴致教授、美国威斯康星麦迪逊大学蔡进一教授、东北师范大学付治国教授、新加坡国立大学曾衡发教授、台湾交通大学吴培元教授、河南大学黎景辉教授、南京大学朱富海教授、天津大学戴伍圣教授、刘云朋博士、西安电子科技大学张哲博士、中国传媒大学陈见柯博士、中央民族大学王兢博士、中国矿业大学（北京）张汉雄博士、北京市朝阳区教研中心张浩博士、吴帆老师等诸多学友与笔者讨论交流！

参考文献

[1] M. Aigner, G. M.Ziegler, Proofs from the Book. Sixth Edition.Springer，2018.第 5 版有中译本，《数学天书中的证明》，冯荣权、宋春伟、宗传明、李璐，译，北京：高等教育出版社，2016
[2] E. J. Barbeau, Incommensurability proof: a pattern that pe-ters out. Math. Mag. 56（1983） 82—90.
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[5] R. J. Evans and I. M. Isaacs, Fields generated by linearcombinations of roots of unity, Trans. Amer. Math. Soc.229（1977），249-258
[6] R. Evans, I. M. Isaacs, Problem E 2668: Special non-i-sosceles triangle. Amer. Math. Monthly 85（1978） 825
[7] S. Galovich, Products of sines and cosines. Math. Mag. 60（1987） 105-113
[8] G. H. Hardy, A Mathematician's Apology. Cambridge,Cambridge University Press, 1940.有四个中译本.有三本译作《一个数学家的辩白》，分别是：王希勇译，商务印书馆，2007 年；李文林、戴宗铎、高嵘译，大连理工大学出版社，2014 年；何生译（双语版），图灵公司出版，2020 年.另一本译作《一个数学家的自白》，李泳译，湖南科学技术出版社，2007 年
[9]华罗庚、王元.数学模型选谈[M].大连：大连理工大学出版社，2011
[10] M. Kline.古今数学思想（第一册）[M].张理京，等，译.上海：上海科学技术出版社，2014
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[12]林开亮.有理角三角函数比值的次数与极小多项式—悬赏征解[J].蛙鸣，2021（64）
[13]林开亮.从 √2 谈起：正多边形对角线比值的无理性[R].北京师范大学，2021-04-28
[14] C. T. McMullen, Teichmiller curves in genus two: torsiondivisors and ratios of sines. Invent. Math. 165（3） （2006）:651-672
[15] G. Perez—Giz. Beyond the golden ratio. PBS Infinite Se-ries, Youtube Channel,2018.https://www.youtube.com/watch？v=MIxvZ6jwTuA
[16] R. M. Robinson, Intervals containing infinitely many sets of conjugate algebraic integers. In:Studies in Mathematical Analysis and Related Topics: Essays in Honor of George Polya, pp. 305 - 315, Stanford: Stanford UniversityPress，1962
[17] R. M. Robinson and J. H. Lindsey II, Problem 10550:Rational cosine ratios, Amer. Math. Monthly 105 （1998）p. 277
[18] D. B. Shapiro, A periodicity problem in plane geometry.Amer. Math. Monthly 91 （1984） 97-108
[19] G. Vincenzi, A characterization of regular n-gons whose pairs of diagonals are either congruentor incommensurable.Arch. Math. 115 （2020） 467-477
[20] G. Vincenzi, B. Paolillob, P. Rizzo, Commensurable diag-onals in regular n-gons. InternationalJournal of Mathe- matical Education in Science and Technology, Published on-line:01 Jul 2021
[21]王元.华罗庚（修订版）[M].南昌：江西教育出版社，1999
[22]王元.《陈省身文集》读后感[J].数学通报，2002（12）：1-2
[23] B. Schechter. 我的大脑敞开了——爱多士的数学之旅[M].王元，李文林，译.上海：上海译文出版社，2016
[24]许以超.多项式理论（续）[J].数学通报，1987（8）：32-37

任在深

√2，√n是无理数吗？
宇宙中根本不存在小数，无理数，超越数！
只存在无理的人！！