试求 [cos(A-B)]^2+[cos(B-C)]^2+[cos(C-A)]^2 的最小值

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试求 [cos(A-B)]^2+[cos(B-C)]^2+[cos(C-A)]^2 的最小值

马奕琛

\(解：\)
\(设f(x,y,z)=cos^{2}(x-y)+cos^{2}(y-z)+cos^{2}(x-z)\)
\(不妨求f(x,y,z)在约束条件x+y+c=π(x,y,z＞0)下的极小值\)
\(则f_x+\lambda=0,f_y+\lambda=0,f_z+\lambda=0\)
\(不难解出\lambda=0,，则sin(2x-2y)=sin(2y-2z)=sin(2z-2x)\)
\(解出：x=y=z=\dfrac {π}{3}，或x=\dfrac {2π}{3}，y=\dfrac {π}{6}，z=\dfrac {π}{6}(x,y,z可轮换)\)
\(验证得f(\dfrac {π}{3},\dfrac {π}{3},\dfrac {π}{3})=3，f(\dfrac {2π}{3},\dfrac {π}{6},\dfrac {π}{6})=1\)
\(则f(x,y,z)最小值为1\)

马奕琛

马奕琛 发表于 2022-9-11 19:01
\(解：\)
\(设f(x,y,z)=cos^{2}(x-y)+cos^{2}(y-z)+cos^{2}(x-z)\)
\(不妨求f(x,y,z)在约束条件x+y+c=π( ...

以上解答中使用了拉格朗日乘数法

luyuanhong

马奕琛

luyuanhong 发表于 2022-9-11 20:38

陆老师您好，这里既然用ABC来表示角，是否意味着A、B、C是一个三角形的三个内角？

luyuanhong

马奕琛 发表于 2022-9-11 20:53
陆老师您好，这里既然用ABC来表示角，是否意味着A、B、C是一个三角形的三个内角？

题目中没有说 A,B,C 是三角形的三个内角，所以不能认为 A,B,C 是三角形的三个内角。