自然数定义的一个疑问

wufaxian

出处，陶哲轩实分析第三版p14，内容如下：

公理2.1 ：0是 一 个自然数。

公理2.2 ：如果 n 是 一 个自然数，那么 n++ 也是 一 个自然数。（我们用n++来表示n的增量或紧跟在n之后的数字）

于是举例来说，我们利用一 次公理 2.1 和两次公理 2.2, 能够推得 (0++)++ 是 一 个自然数。显然这个记号将变得越来越不灵便，因此我们共同约定采用更熟悉 的记号来表示这些数字。

定义 2.1.3 我们定义 1 为数字 0+ +, 2 为数字 (0++)++, 3 为数字 ( (0++)++)++, 等等。（换言之， 1 := 0++, 2 := 1++ , 3 := 2++, 等等。在本 书中，我用 "x:=y" 来表示命题：令 x 的值等于y。)

于是，举例来说， 我们有：

命题

2.1.4 ：3 是 一 个自然数。

证明：根据公理 2.1 可知， 0 是 一 个自然数。根据公理 2.2, 0+ + = 1 是 一 个 自然数。又根据公理 2.2 可得， 1++=2 也是 一 个自然数。再次利用公理 2.2 就可 以得到，2++=3是 一个自然数。


我的问题

看似一个小学的问题，但是为了更加严格放在实分析里重新定义。但是如果从严格的角度看，这没有说明为什么0++不等于0.1呢？公理2.1，公理2.2没说不能+0.1啊

lihp2020

我以前老师给我们讲的 自然数 就是自然而然存在的  后来数学家就不断总结 完善  就取了这些东西

比如以前0 不是自然数 现在是了 我们只需要记忆按照数学家的思路理解

luyuanhong

问 为什么当 n 是一个自然数时，有 n++ = n+1 ？

答 在陶哲轩实分析的书中，有下列定义：

定义 2.1.3 我们定义 1 为数字 0++, 2 为数字 (0++)++, 3 为数字 ((0++)++)++, 等等。

由上述定义就可以知道：

当 n = 0 时，有 0++ = 1 = 0+1 ；

当 n = 1 时，有 1++ = 2 = 1+1 ；

当 n = 2 时，有 2++ = 3 = 2+1 ；

当 n = 3 时，有 3++ = 4 = 3+1 ；

……

所以，一般来说，当 n 是一个自然数时，有 n++ = n+1 。