【答】“焦点垂线”把椭圆一割为二，其面积比是否为固定值？

dodonaomikiki

如图，
粉红部：  黄色部是不是一个固定值？
已知：
椭圆半长轴=a
短长轴=b

dodonaomikiki

  也就是 \(        Area(AxF_1y):Area(xByF_1)     \)   

dodonaomikiki

尝试计算黄色区块的上半部分
          \(       \int_{c}^{a}b\sqrt{1-   \frac{x^2}{    a^2}}dx                              \)
          \(       =\int_{c}^{a}   \frac{\sqrt{ a^2- x^2   } }  {    a}   dx           \)
          \(       = \frac{b}{a}  \bullet   \int_{c}^{a}    \sqrt{ a^2- x^2    }    dx           \)



          \(       Because           \)
          \(        \int  \sqrt{ a^2- x^2    }    dx =  \int     0,5(  x  \bullet  \sqrt{ a^2- x^2  }   +a^2  arc  sin\frac{x}{a}    )             \)   

dodonaomikiki

我们就针对   这个玩意儿  \(        \int     0,5(  x  \bullet  \sqrt{ a^2- x^2  }   +a^2  arc  sin\frac{x}{a}    )             \)   


a代进去
\(     =0,5  \bullet  a^2arcsin1      \)   
\(     =\frac{1}{2}    \bullet              a^2           \bullet  \frac{\pi}{2}      \)   



c代进去
\(     =0,5  (     c   \bullet       b   +a^2arcsin   \frac{c}{a}                     )      \)   




黄色区域上半部的面积
\(     = \frac{b}{a}    (    \frac{\pi   a^2    }{4}   -     \frac{ b  \bullet      c+  a^2arcsin   \frac{c}{a}                      }{2}            )          \)   
\(     = \frac{b}{a}    (    \frac{\pi   a^2    }{4}   -     \frac{ b \sqrt{ a^2 -b^2  }  +  a^2arcsin   \frac{ \sqrt{ a^2 -b^2  } }{a}                      }{2}            )          \)
            

dodonaomikiki

整个黄色区域面积
\(     = \frac{b}{a}    (    \frac{\pi   a^2    }{2}   -    b \sqrt{ a^2 -b^2  }   -a^2arcsin   \frac{ \sqrt{ a^2 -b^2  } }{a}                                 )          \)


\(   \frac{整个黄色区域面积   }{椭圆面积   }   \)
\(     = \frac{1}{\pi a^2}    (    \frac{\pi   a^2    }{2}   -    b \sqrt{ a^2 -b^2  }  -a^2arcsin   \frac{ \sqrt{ a^2 -b^2  } }{a}                                 )          \)
\(     =    \frac{1    }{2}   -  \frac{ b}{\pi a^2}   \sqrt{ a^2 -b^2  }   -  \frac{1}{\pi}arcsin   \frac{ \sqrt{ a^2 -b^2  } }{a}                                 )          \)

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代进去，结果实际上并不怎么好玩 木有定（具体数值）值！



a=3,b=2
\(     =    \frac{1    }{2}   -  \frac{ 2 \sqrt{ 5  } }{9\pi }    -  \frac{1}{\pi}arcsin   \frac{ \sqrt{ 5 } }{3}             \)




a=3,b=1
\(     =    \frac{1    }{2}   -  \frac{ 2\sqrt{ 2  } }{9\pi }     -  \frac{1}{\pi}arcsin   \frac{ 2\sqrt{ 2  }  }{3}                                         \)