设 f[-1]=f[0]=1，f[n]=2xf[n-1]-f[n-2]。证：cos[π/(2n+1)] 是 f[n](x)=0 的一个根

cgl_74

4楼王守恩同学的计算结果我看懂了。也就是说，对于fn(x) = 0的解，cos(k*pi/(2n+1)都是该方程的解，k=1,2,..2n，也就是说这2n个值都是解，但是解有重复，如cos(pi/(2n+1) = cos (pi*2n/(2n+1))。去掉重复的n个解，剩下n个不重复的解。fn(x)是一个n次多项式，正好有n个根。
感觉这个方程的解，在复变函数论中，是一道简单的习题或基本定理。但我没有系统学习过复变函数论，无法肯定。如果用普通初等数学知识来证明这个，估计难度比较大。这说明要站得高，看得远，还是要多学习！高纬度数学对低纬度数学会是碾压式的降维打击！

王守恩

cgl_74 发表于 2022-10-11 04:28
4楼王守恩同学的计算结果我看懂了。也就是说，对于fn(x) = 0的解，cos(k*pi/(2n+1)都是该方程的解，k=1,2,. ...

电脑是个好东西，可以开拓我们的眼界。这串多项式可以这样出来，
各位网友！可有其他方法把这串多项式拉扯出来？
又：如何把这升幂排列改为降幂排列？谢谢！

Expand[RecurrenceTable[{f[-1]=f[0]=1, f[n]=(2x)f[n-1]-f[n-2]}, f[n], {n, 0, 11}]]

\(1\)
\(-1 + 2 x\)
\(-1 - 2 x + 4 x^2\)
\(1 - 4 x - 4 x^2 + 8 x^3\)
\(1 + 4 x - 12 x^2 - 8 x^3 + 16 x^4\)
\(-1 + 6 x + 12 x^2 - 32 x^3 - 16 x^4 + 32 x^5\)
\(-1 - 6 x + 24 x^2 + 32 x^3 - 80 x^4 - 32 x^5 + 64 x^6\)
\(1 - 8 x - 24 x^2 + 80 x^3 + 80 x^4 - 192 x^5 - 64 x^6 + 128 x^7\)
\(1 + 8 x - 40 x^2 - 80 x^3 + 240 x^4 + 192 x^5 - 448 x^6 - 128 x^7 + 256 x^8\)
\(-1 + 10 x + 40 x^2 - 160 x^3 - 240 x^4 + 672 x^5 + 448 x^6 - 1024 x^7 - 256 x^8 + 512 x^9\)
\(-1 - 10 x + 60 x^2 + 160 x^3 -560x^4-672x^5+1792x^6+1024x^7-2304x^8-512x^9+1024x^{10}\)
\(1-12x-60x^2+280x^3+560x^4-1792x^5-1792x^6+4608x^7+2304x^8-5120x^9-1024x^{10}+2048x^{11}\)

王守恩

有道理！谢谢 时空伴随者!

\(1\)
\(-1 + t\)
\(-1 - t + t^2\)
\(1 - 2 t - t^2 + t^3\)
\(1 + 2 t - 3 t^2 - t^3 + t^4\)
\(-1 + 3 t + 3 t^2 - 4 t^3 - t^4 +  t^5\)
\(-1 - 3 t + 6 t^2 + 4 t^3 - 5 t^4 - t^5 + t^6\)
\( 1 - 4 t - 6 t^2 + 10 t^3 + 5 t^4 - 6 t^5 - t^6 + t^7\)
\( 1 + 4 t - 10 t^2 - 10 t^3 + 15 t^4 + 6 t^5 - 7 t^6 - t^7 + t^8\)
\(-1 + 5 t + 10 t^2 - 20 t^3 - 15 t^4 + 21 t^5 + 7 t^6 - 8 t^7 - t^8 +  t^9\)
\(-1 - 5 t + 15 t^2 + 20 t^3 - 35 t^4 - 21 t^5 + 28 t^6 + 8 t^7 - 9 t^8 - t^9 + t^{10}\)
\(1 - 6 t - 15 t^2 + 35 t^3 + 35 t^4 - 56 t^5 - 28 t^6 + 36 t^7 + 9 t^8 - 10 t^9 - t^{10} + t^{11}\)

王守恩

先翻过来再说，看能不能把规律找出来。

\(1\)
\(1-1\)
\(1-1-01\)
\(1-1-02+01\)
\(1-1-03+02+01\)
\(1-1-04+03+03-01\)
\(1-1-05+04+06-03-01\)
\(1-1-06+05+10-06-04+01\)
\(1-1-07+06+15-10-10+04+01\)
\(1-1-08+07+21-15-20+10+05-01\)
\(1-1-09+08+28-21-35+20+15-05-01\)
\(1-1-10+09+36-28-56+35+35-15-06+1\)
\(1-1-11+10+45-36-84+56+70-35-21+6+1\)

王守恩

\[\frac{(n - k + \lfloor k/2\rfloor)!}{(n - k)!\lfloor k/2\rfloor! \cos(\lfloor(k + 1)/2\rfloor\pi)}\]

Table[Table[(n - k + Floor[k/2])!/((n - k)! Floor[k/2]! Cos[ Floor[(k + 1)/2] [Pi]]), {k, 0, n}], {n, 0, 20}]

{{1},
{1, -1},
{1, -1, -01},
{1, -1, -02, 01},
{1, -1, -03, 02, 01},
{1, -1, -04, 03, 03, -01},
{1, -1, -05, 04, 06, -03, -01},
{1, -1, -06, 05, 10, -06, -04, 01},
{1, -1, -07, 06, 15, -10, -10, 04, 1},
{1, -1, -08, 07, 21, -15, -20, 10, 5, -1},
{1, -1, -09, 08, 28, -21, -35, 20, 15, -5, -1},
{1, -1, -10, 09, 36, -28, -56, 35, 35, -15, -6,  1},
{1, -1, -11, 10, 45, -36, -84, 56,  70, -35, -21,  06,  1},
{1, -1, -12, 11, 55, -45, -120, 84, 126, -70, -56,  21, 07, -1},
{1, -1, -13, 12, 66, -55, -165,120, 210, -126,-126, 56, 28, -07, -1},
{1, -1, -14, 13, 78, -66, -220,165, 330, -210, -252, 126, 84, -28, -08, 1},
{1, -1, -15, 14, 91, -78, -286,220, 495, -330, -462, 252, 210, -84, -36,  08,  1},
{1, -1, -16, 15,105, -91, -364,286, 715, -495, -792, 462, 462, -210, -120, 36, 09, -1},
{1, -1, -17, 16,120,-105,-455,364,1001, -715, -1287, 792, 924, -462, -330, 120, 45, -9, -1},
{1, -1, -18, 17,136,-120,-560,455,1365,-1001,-2002,1287,1716, -924, -792, 330,165,-45, -10, 1},
{1, -1, -19, 18,153,-136,-680,560,1820,-1365,-3003,2002,3003,-1716,-1716,792,495,-165,-55,10, 1}}

时空伴随者

王守恩 发表于 2022-10-11 15:19
\[\frac{(n - k + \lfloor k/2\rfloor)!}{(n - k)!\lfloor k/2\rfloor! \cos(\lfloor(k + 1)/2\rfloor\pi)} ...

很好！具有良好的递推性。
2022-10-11 17:49:08
\(C_{0}^0\ \)
\(C_{1}^0\ -C_{0}^0\ \)
\(C_{2}^0\ -C_{1}^0\ -C_{1}^1\ \)
\(C_{3}^0\ -C_{2}^0\ -C_{2}^1\ C_{1}^1\ \)
\(C_{4}^0\ -C_{3}^0\ -C_{3}^1\ C_{2}^1\ C_{2}^2\ \)
\(C_{5}^0\ -C_{4}^0\ -C_{4}^1\ C_{3}^1\ C_{3}^2\ -C_{2}^2\ \)
\(C_{6}^0\ -C_{5}^0\ -C_{5}^1\ C_{4}^1\ C_{4}^2\ -C_{3}^2\ -C_{3}^3\ \)
\(C_{7}^0\ -C_{6}^0\ -C_{6}^1\ C_{5}^1\ C_{5}^2\ -C_{4}^2\ -C_{4}^3\ C_{3}^3\ \)
\(C_{8}^0\ -C_{7}^0\ -C_{7}^1\ C_{6}^1\ C_{6}^2\ -C_{5}^2\ -C_{5}^3\ C_{4}^3\ C_{4}^4\ \)
\(C_{9}^0\ -C_{8}^0\ -C_{8}^1\ C_{7}^1\ C_{7}^2\ -C_{6}^2\ -C_{6}^3\ C_{5}^3\ C_{5}^4\ -C_{4}^4\ \)
\(C_{10}^0\ -C_{9}^0\ -C_{9}^1\ C_{8}^1\ C_{8}^2\ -C_{7}^2\ -C_{7}^3\ C_{6}^3\ C_{6}^4\ -C_{5}^4\ -C_{5}^5\ \)
\(C_{11}^0\ -C_{10}^0\ -C_{10}^1\ C_{9}^1\ C_{9}^2\ -C_{8}^2\ -C_{8}^3\ C_{7}^3\ C_{7}^4\ -C_{6}^4\ -C_{6}^5\ C_{5}^5\ \)
\(C_{12}^0\ -C_{11}^0\ -C_{11}^1\ C_{10}^1\ C_{10}^2\ -C_{9}^2\ -C_{9}^3\ C_{8}^3\ C_{8}^4\ -C_{7}^4\ -C_{7}^5\ C_{6}^5\ C_{6}^6\ \)
\(C_{13}^0\ -C_{12}^0\ -C_{12}^1\ C_{11}^1\ C_{11}^2\ -C_{10}^2\ -C_{10}^3\ C_{9}^3\ C_{9}^4\ -C_{8}^4\ -C_{8}^5\ C_{7}^5\ C_{7}^6\ -C_{6}^6\ \)
\(C_{14}^0\ -C_{13}^0\ -C_{13}^1\ C_{12}^1\ C_{12}^2\ -C_{11}^2\ -C_{11}^3\ C_{10}^3\ C_{10}^4\ -C_{9}^4\ -C_{9}^5\ C_{8}^5\ C_{8}^6\ -C_{7}^6\ -C_{7}^7\ \)
\(C_{15}^0\ -C_{14}^0\ -C_{14}^1\ C_{13}^1\ C_{13}^2\ -C_{12}^2\ -C_{12}^3\ C_{11}^3\ C_{11}^4\ -C_{10}^4\ -C_{10}^5\ C_{9}^5\ C_{9}^6\ -C_{8}^6\ -C_{8}^7\ C_{7}^7\ \)

cgl_74

看到楼上的2位兴趣又转向了fn(x)的表达式了，并且玩得很嗨。
我表示有点捉急！
fn(x)的表达式，可以通过递归的正式方法解出来的。
很明显，fn(x)是一个n次多项式；设其系数x^i的系数为a(n,i)，i=0,1,2,…n
那么有递归式a(n+1,i) = 2* a(n, i-1) - a(n-1,i)；i=0, 1, 2,…n-1.
解这个递归式，就可以求出具体每一项的系数。

比如，fn(x)中，x^n系数为2^n；x^(n-1)系数为-2^(n-1)；x^(n-2)系数为-(n-1)*2^(n-2)；
以此类推…..

时空伴随者

时空伴随者

2022-10-13 10:53:16
\(f_1(X)=0\)的数值解：
\(X_1=0.500000000000000\)  
\(f_2(X)=0\)的数值解：
\(X_1=0.809016994374947\)  \(X_2=-0.309016994374947\)  
\(f_3(X)=0\)的数值解：
\(X_1=0.900968867902419\)  \(X_2=0.222520933956314\)  \(X_3=-0.623489801858733\)  
\(f_4(X)=0\)的数值解：
\(X_1=0.939692620785908\)  \(X_2=0.500000000000000\)  \(X_3=-0.173648177666930\)  \(X_4=-0.766044443118978\)  
\(f_5(X)=0\)的数值解：
\(X_1=0.959492973614497\)  \(X_2=0.654860733945285\)  \(X_3=0.142314838273285\)  \(X_4=-0.415415013001886\)  \(X_5=-0.841253532831181\)  
\(f_6(X)=0\)的数值解：
\(X_1=0.970941817426052\)  \(X_2=0.748510748171101\)  \(X_3=0.354604887042536\)  \(X_4=-0.120536680255323\)  \(X_5=-0.568064746731156\)  \(X_6=-0.885456025653210\)  
\(f_7(X)=0\)的数值解：
\(X_1=0.978147600733806\)  \(X_2=0.809016994374947\)  \(X_3=0.500000000000000\)  \(X_4=0.104528463267653\)  \(X_5=-0.309016994374947\)  \(X_6=-0.669130606358858\)  \(X_7=-0.913545457642601\)  
\(f_8(X)=0\)的数值解：
\(X_1=0.982973099683902\)  \(X_2=0.850217135729614\)  \(X_3=0.602634636379256\)  \(X_4=0.273662990072083\)  \(X_5=-0.092268359463302\)  \(X_6=-0.445738355776538\)  \(X_7=-0.739008917220659\)  \(X_8=-0.932472229404356\)  
\(f_9(X)=0\)的数值解：
\(X_1=0.986361303402722\)  \(X_2=0.879473751206489\)  \(X_3=0.677281571625741\)  \(X_4=0.401695424652970\)  \(X_5=0.082579345472332\)  \(X_6=-0.245485487140799\)  \(X_7=-0.546948158122427\)  \(X_8=-0.789140509396393\)  \(X_9=-0.945817241700635\)