等幂差公式：一个主旋律的十一个变奏曲

luyuanhong

等幂差公式：一个主旋律的十一个变奏曲

作者 | 林开亮

来源 | 本文原载于《数学通报》，2022 年第 61 卷第七期，p.54—60，本次转载，略有修订。

1 序曲

首先声明，我不懂音乐。我对主旋律 (theme) 这个概念印象深刻，源于两篇科学史的通俗报告。一篇是法国数学家 André Weil (1906–1998) 的《数论今昔两讲》[19]，另一篇是杨振宁先生的《量子化、对称和相位因子：20 世纪物理学的主旋律》[27]。至于变奏曲 (variation) 的观念，则是从一些数学书名注意到的，如 Victor W. Guillemin 和 Shlomo Sternberg 的 Variations on a Theme by Kepler(AMS,1990)，Takashi Ono 的 Variations on a Theme of Euler：Quadratic Forms, Elliptic Curves, and Hopf Maps (Springer, 1994)。

最近，我了解到主旋律和变奏曲的观念其实早已渗透到数学教学中。例如，早在 40 年前，Abe Shenitzer (1921–2022) 在《数学教学》一文中就指出 [18, p. 112 ]:

如果我们同意强调特殊与普遍之间的互动是有效教学的一个重要元素，那么鉴于教学之实际，也许这样说是公允的：在数学教育的初级阶段，我们倾向于教变奏曲而不教主旋律；而在数学教育的高级阶段，我们倾向于教主旋律而不教变奏曲。

关于主旋律及其变奏曲，Shenitzer 举的一个典型例子，是 Gauss 的同余 (congruence) 概念。这个概念首先出现在高斯 1801 年出版的名著《数论研究》中：两个整数 a,b 称为模正整数 m 同余，如果 a-b 是 m 的整数倍（通常记作 a≡b mod m）。对给定的正整数 m ，按照模 m 同余关系，可将全体整数分成模 m 的同余类。例如，对 m=2 ，就得到两个等价类，分别是偶数类（模 2 同余于 0）与奇数类（模 2 同余于 1）。Shenitzer 指出，数学中的种种等价关系(我们从 C. Eckes 最近的文章 [5] 得知，等价关系的精确定义是由 Hermann Weyl 在 1910 年给出的。)，都可以视为同余概念的变奏，如群作用下两个子集的等价、欧氏平面中两个图形的全等与相似，等等。在上述引文之后，Shenitzer 进一步问道:

你能给出其它数学主旋律及其变奏曲的例子吗？

对此开放问题，在中小学数学的范围内，一个极其值得注意的回答，已经由加州伯克利大学的伍鸿熙教授给出。他在写给小学、初中和高中的数学教师的一套师资培训教材 [20, 21, 22, 23, 24, 25] 中，曾多次提及这个极重要的主旋律——带余除法。

伍鸿熙教授在《数学家讲解小学数学》[20] 第四部分初等数论的引言中写道：“事实上，本书的第四部分或许可以视为对带余除法中余数的重要性的一个反思。”他在《有理数到线性方程》[23] 第三章欧几里德算法开篇写道：“本章本质上是带余除法的一组变奏曲, 其中主要的变奏是欧几里德算法。”

实际上，带余除法这个主旋律从小学、中学一直贯穿到大学，例如我们在高等代数中所学习的将整数（或多项式）矩阵化成 Smith 标准型，本质上就是求两个整数的最大公因子的扩充欧几里德算法的矩阵版本。坊间流传的“龙生龙，凤生凤，华罗庚的学生会打洞”，正是说华罗庚擅长用带余除法做初等变换将整数（或多项式）矩阵化成标准型。关于带余除法这个主旋律及其变奏曲，可以分享的非常之多，像欧几里德算法、中国剩余定理、线性丢番图方程组就是其中的代表。但我们今天不拟展开。

我们这里要分享的，是另一个主旋律及其变奏曲。某种意义上，它比带余除法更简单，但似乎没有引起足够的重视。

2 主旋律


因此，我们的主旋律 (1) 不过是平方差公式 (2) 和立方差公式 (3) 的推广，也许可以称作等幂差公式。可以想见，正如 (2),(3) 可以直接证明那样，(1) 也可以如法炮制。这个简单的证明，我们留作练习。(1) 应当视为初中代数里的一个基本结果，正如伍鸿熙教授在《代数》[22]1.3 节为它所取的标题“A basic identity”所表明的那样。印度数学天才 Ramanujan (1887–1920) 的数学启蒙书《纯数学基本结果概要》之开篇（[4, p. 33]），就是这个公式, 参见 R. Kanigel 所著《知无涯者：拉马努金传》[9]。

3 变奏曲

遵循伍鸿熙老师的思路，我们先介绍他在《代数》中所给出的等幂差公式 (1) 的两个变奏曲：梅森素数和有限几何级数。

3.1 梅森素数






3.2 有限几何级数



等比数列的有限求和公式通常放在高中代数教学近乎结束时，然而我们已经看到，作为符号运用的一个热身，它属于代数最开始阶段。这一推迟毫无理由，特别是考虑到下述因素就更是如此了：因为这个公式在纯数学和应用数学如此多的领域非常重要。



3.3 多项式 f(x) 除以 x-a 的带余除法



3.4 幂函数的单调性



3.5 幂函数的导数公式



3.6 Bernoulli 不等式



3.7 无穷几何级数



3.8  1-x 模 x^n 的逆



3.9  1-p 模 p^n 的逆



3.10 矩阵版本


近代数值分析中的另一个基石是“Lax 等价定理”。受 Richtmyer 的启发, Lax 确立了这个定理，它给出了确保数值算法可以有效逼近微分方程解的条件。这一结果照亮了整个领域。

3.11 Fermat 素数






4 尾声

俄国自学成才的大数学家 I. M. Gelfand (1913–2009) 曾经在不同的场合说 (参见他与 Tatiana V.Gelfand 合著的中学数学教科书2 《几何》之引言)：

在知识的领域中，思想 (ideas) 的数目是有限的。其它的一切只是主旋律的种种变奏曲。在数学中，思想并不多。我们所获得的一切，都是从最基本（或根本）的概念（concepts）出发经过某种程度的变形而得到。掌握一个数学领域中的那些基本概念，有助于将它们与其它领域中的基本概念区分开，有助于将它们应用于其它领域。

Halmos 教授在《数学中有基本元素吗？》[7] 一文中所说的“基本元素”(elements)，也许就是主旋律吧。值得一提的是，Halmos 教授所举的三个例子中，头一个就是几何级数 (亦可参见 [15])。他举的每一个例子都很有启发性，推荐给有兴趣的读者。

萧文强教授在《数学可以怎样教得更好？》3[26] 一文中倡导的“少即是多”(Less is More) 的原则，其出发点与此相去不远：以主旋律引领变奏曲。萧教授在附录中也举了一个极其生动的例子，线性方程组的求解。毫无疑问，这也是贯穿小学直至大学数学的一个引人入胜的主旋律。

亲爱的读者朋友，你心中可有一首反复吟唱的主旋律及其变奏曲呢？

致谢

感谢美国加州伯克利大学伍鸿熙教授、香港城市大学陈关荣教授、香港大学萧文强教授、北京师范大学李建华教授、西安电子科技大学张哲博士、北京市朝阳区教育研究中心张浩博士、中国传媒大学陈见柯博士、天津大学刘云朋博士、中国矿业大学（北京）张汉雄博士、陕西西安曲江第一中学雷艳萍老师、浙江永嘉中学叶卢庆老师对初稿提出宝贵意见！

参考文献

[1] M. Aigner, G. M. Ziegler, Proofs from the Book. Sixth Edition. Springer, 2018. 有中译本, 《数学天书中的证明》(第 6 版), 冯荣权、宋春伟、宗传明、李璐译, 北京: 高等教育出版社, 2022.

[2] George E. Andrews, The geometric series in calculus, Amer. Math. Monthly, 105 (1998):1, 36–40.

[3] Michael Atiyah, Mathematics in the 20th century, Amer. Math. Monthly, 108 (2001):7, 654–666.有中译文，白承铭译，二十世纪的数学，数学译林，2002 年第 21 卷，第 1 期，1–14.

[4] G. S. Carr, A Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics, C.F. Hodgson and Son, London, 1880, 1886; reprinted by Chelsea, New York, 1970 under the title, Formulas and Theoremsin Pure Mathematics; reprinted by Cambridge University Press, 2013 under the title, A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics.

[5] C. Eckes, Hermann Weyl in Göttingen (1904–1913): The combined impact of Hilbert, Klein and Zermelo, Bhāvanā, Volume 3, Issue 1, January 2019.

[6] Fernando Q. Gouvêa, p-adic Numbers: An Introduction, Third Edition, Springer, 2020.

[7] P. R. Halmos, Does mathematics have elements?. Math. Intelligencer 3(1981), 147–153. 有中译文，陈见柯译，数学有基本元素吗？收入“数学与人文”丛书第三十辑《数学随想》，北京，高等教育出版社，2020.

[8] M. D. Hirschhorn, The AM-GM inequality. The Mathematical Intelligencer 29, 7 (2007).

[9] Robert Kanigel, The Man Who Knew Infinity : A Life of the Genius Ramanujan, 1991. 有中译本，《知无涯者：拉马努金传》，胡乐士、齐民友译，上海世纪出版集团，2008.

[10] V. J. Katz,《数学史通论》(A History of Mathematics: An Introduction), 李文林等译，高等教育出版社，2004.

[11] 林开亮，答薛昭雄教授——并附评论与反思 (续)，数学传播，第 44 卷第 4 期（2020 年），78–86.

[12] 林琦焜，从三角求和公式到 Fourier 级数，数学传播，第 26 卷第 3 期（2002 年），11–29.

[13] 柳柏濂，别瞧不起它, 那个中学教材中的公式 ，数学传播，第 22 卷第 2 期（1988 年），63–71.

[14] L. Maligranda, The AM-GM inequality is equivalent to the Bernoulli inequality. The Mathematical Intelligencer, 34 (2012), 1–2.

[15] W. Rudin, Unique right inverses are two-sided. The American Mathematical Monthly, 92 (1985)489–490.

[16] Wilfried Schmid and H. Wu, The major topics of school algebra, 伍鸿熙个人主页, 2008.

[17] I. R. Shafarevich, S. Zdravkovska, Abelian and nonabelian mathematics. Math. Intelligencer 13,67–75 (1991). 有中译文，潘建中译，交换数学与非交换数学，数学译林，1992 年第 11 卷，第 2期，94–104.

[18] Abe Shenitzer, Teaching mathematics, Math. Intelligencer, 3 (1981), 109–114.

[19] André Weil, Two Lectures on number theory, past and present, L’Enseignement Mathématique,20: 87–110, 1974. 有中译文，王启明译，数论今昔两讲，数学译林试刊，1981 年 83–90.

[20] H. Wu, Understanding Numbers in Elementary School Mathematics, American Mathematical Society, 2010. 有中译本，赵洁、林开亮译，《数学家讲解小学数学》，北京，北京大学出版社，2016.

[21] H. Wu, Teaching School Mathematics: Pre-Algebra, American Mathematical Society, 2016.

[22] H. Wu, Teaching School Mathematics: Algebra, American Mathematical Society, 2016.

[23] H. Wu, Rational Numbers to Linear Equations, American Mathematical Society, 2020.

[24] H. Wu, Algebra and Geometry, American Mathematical Society, 2020.

[25] H. Wu, Pre-Calculus, Calculus, and Beyond, American Mathematical Society, 2020.

[26] 萧文强，数学可以怎样教得更好？，数学传播，第 40 卷第 1 期（2016 年），81–86.

[27] 杨振宁，量子化、对称和相位因子：20 世纪物理学的主旋律，收入《杨振宁的科学世界：数学与物理的交融》，季理真、林开亮主编，北京，高等教育出版社，2018 年。

——本文作者林开亮任教中国西北农林科技大学理学院

王守恩

\(\frac{1^2}{1^2-20+200}+\frac{2^2}{2^2-40+200}+\frac{3^2}{3^2-60+200}+...+\frac{19^2}{19^2-380+200}+\frac{20^2}{20^2-400+200}=21\)

\(证:我们有\)

\(2=\frac{2(a^2+b^2)}{a^2+b^2}=\frac{2a^2+2b^2}{(a+b)^2-2ab}\)

\(=\frac{a^2}{(a+b)^2/2-ab}+\frac{b^2}{(a+b)^2/2-ab}\)

\(=\frac{a^2}{(a+b)^2/2+a^2-a(a+b)}+\frac{b^2}{(a+b)^2/2+b^2-b(a+b)}\)

\(=\frac{a^2}{a^2-a(a+b)+(a+b)^2/2}+\frac{b^2}{b^2-b(a+b)+(a+b)^2/2}\)

\(联系本题：即a+b=20\)