对话理论物理学家 David Tong ：量子场论为什么不完整？

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对话理论物理学家 David Tong ：量子场论为什么不完整？

量子场论是物理学中最成功的理论之一，特别是其中的粒子物理的标准模型，让我们对微观世界的理解达到了空前的高度。但它在数学上是不完整的。为什么会出现数学上不严格的问题？量子场论还有什么未解之谜？剑桥大学理论物理学家 David Tong 给出了他的见解。

采访 | Steven Strogatz

受访 | David Tong

编译 | 刘航

当追问物质是由什么组成的时，人们沿着还原论的思路探索到了基本粒子组成的微观世界。似乎到了夸克就是这条线索的末端了，它是物质的最基本组成部分。但事实并不这么简单。物理学家告诉我们，所有一切是由一种神秘的实质性物质组成的——具有相互作用的量子场。这些看不见的场时而像粒子，时而像波，它们可以相互作用。量子场论称为迄今为止最成功的科学理论，特别是标准模型，在某些情况下，其预测与实验的一致性达到了惊人的小数点后 12 位。除此之外，它还对数学领域产生了巨大的影响。然而，物理学家发现理论中可能遗漏了一些东西，量子场论在数学上是不完整的，为我们留下了许多未解之谜。

近日，Quanta Magazine 的播客主持人 Steven Strogatz 采访了剑桥大学理论物理学家 David Tong ，他们从场概念的起源开始，探讨了量子场论中一些开放性问题。本文编译了对话的主要内容。

“场”这个词是谁发明的呢？一般我们认为是迈克尔·法拉第的功劳。他最初的想法是什么，他又发现了什么？

场（field）一词是由法拉第（Michael Faraday）发明的，他是有史以来最伟大的实验物理学家之一。他发现了电磁感应现象。法拉第虽然不太懂数学，但奇妙的是，基于二十多年对电和磁的实验经验，他构建了对宇宙运行方式的直觉——他脑海中构想解释事物运行的方式的图像，实际上是对我们所生活宇宙的正确描述。法拉第认为两个条形磁铁之间存在某种东西，即我们现在所说的磁场，他称之为力线（line of force），并且认为磁场和磁铁本身一样真实。这是一种思考我们所处宇宙的全新方式，他认为宇宙中不仅有粒子，还有另一种非常不同的物质——场——同时存在于空间的任何地方。法拉第最大的贡献是提出这些场是真实的，跟粒子一样的真实存在。

用我们现代的语言来说，在宇宙中的每一个点，都有两个矢量。这两个矢量告诉我们电场和磁场的方向和大小。这些电场和磁场本身在波动和演变，反过来影响粒子的运动。所以粒子的运动和场的运动之间通过一种复杂的关系相互联系。

量子力学被发现后，场的概念是如何改变的呢？

我们知道了电场和磁场的存在，电磁场的涟漪就是我们所说的光。而量子革命告诉我们，光本身是由粒子组成——光子。所以问题变成，应该如何考虑场和光子之间的关系？有两种可能合乎逻辑：一种是认为电场和磁场是由很多很多光子组成的，就像流体是由很多原子组成的；另一种则相反，场可能是最基本的东西，光子来自于场的涟漪。

经过二三十年的发展，科学家认识到，场才是最基本的，场是一切的基础。从量子力学的角度，电场和磁场的微小波动会变成小束的能量，我们称之为光子。

物理学史上的最伟大的进步之一，就是理解了所有其他粒子的情况都是一样的。所谓的电子和夸克本身并不是最基本的物质，在整个宇宙中充满着各种“场”，就像电场和磁场一样。我们称为电子的粒子，实际上是电子场的激发。这对任何其他粒子也是一样的。宇宙中还有 6 种不同的夸克场；有中微子场，有胶子场和 W 玻色子场等等。每当我们发现一个新粒子（最近的是希格斯玻色子），我们就知道了与它相关的是一个场，这些粒子只是相应的场的波动。

有某个特别的人提出这种思维方式吗？

有一个人，帕斯库尔·约当（Pascual Jordan）。他几乎被历史书抹去了，因为他是纳粹党的关键人物。他是量子力学的奠基人之一——他和海森堡等人一起撰写了初始的论文。他是第一个意识到：从一个场开始，应用量子力学的规则，最终能得到一个粒子。

你提到了很多不同的场，那么它与标准模型是什么关系呢？

标准模型是目前关于我们宇宙的最好的理论，它是量子场论的一个特例。它基本上包含了我们已知的所有粒子，每一个粒子都有一个相对应的场。而标准模型的一系列公式，描述了这些场是如何相互作用的。

理论中包含三种力场。首先是电和磁相关的场（由于法拉第的实验，我们意识到电场和磁场是同一枚硬币的两面，因此算作一个）。然后是两种核力场：其中一种是胶子场，它与强相互作用有关，将原子核聚集在原子内部；另一种与弱相互作用相关，它们被称为 W 玻色子场或 Z 玻色子场。

标准模型中还包括一些物质场，它们分成 3 组，每组 4 个。第一组是我们最熟悉的，第一代电子场，两个与上夸克和下夸克相关的夸克场，以及电子中微子场。质子包含两个上夸克和一个下夸克（中子包含两个下夸克和一个上夸克）。所以这是四种粒子与三种力相互作用的集合。

然后，宇宙决定将这些物质场再重复两次，所以有了接下来的两组。第二代四个粒子的集合，分别是 μ 子、奇异夸克、粲夸克和 μ 子中微子。第三代包含另外四个：τ 子、顶夸克、底夸克、和 τ 子中微子。自然界有这种自我重复的方式，但没有人知道原因。我认为这仍然是最大的谜团之一。

最后，还有希格斯玻色子，它将一切联系在一起——赋予其他粒子以质量。这 12 个粒子和希格斯玻色子与三种力相互作用的集合组成了标准模型。

一个糟糕的类比是，希格斯场有点像遍布整个空间的糖浆，如果粒子以光速通过希格斯场，它们会因为场的存在而减速，这就在形式上赋予了粒子质量。这确实是个不好的类比，并不是有某种摩擦作用使它们减速了。但要想出一个令人信服的比喻来反映这些方程是相当困难的。

如果没有希格斯场或者类似的机制，一切会以光速运动？

如果没有希格斯场，电子将以光速运动，那么相应的原子将不太稳定。中微子几乎是无质量的，它会以光速传播。而对质子或中子来说，其质量将和现在的质量基本相同，因为它们内部的夸克几乎是无质量的，只有 0.1% 左右，与质子或中子的质量相比微不足道。质子和中子的质量实际上来自于其内部量子场的疯狂波动，而这部分是量子场论理论中我们最不了解的部分。所以，如果没有希格斯场，基本粒子会变得无质量，比如夸克、电子；但构成我们的物质的中子和质子不会。它们的质量来自于另一种机制。

考虑质子内部的相互作用，从爱因斯坦的质能方程 E=mc^2 出发，强大的相互作用与大量的能量相关，在某种情况下这些能量转化为质量，是这样吗？是有虚粒子被创造出来然后消失了？所有这些都在创造能量和质量？

这两种思考方式都是正确的。我之前说的每个质子和中子内部有三个夸克并不完全正确。正确的说法是，在质子内部有数百个夸克、反夸克和胶子，在任何给定的时间，夸克比反夸克多三个，我们称为三个价夸克（其他成对的夸克和反夸克一般称为海夸克）。质子是一个非常复杂的物体。它包含数百个，甚至数千个不同的粒子以某种非常复杂的方式相互作用。你可以把这些夸克-反夸克对想象成虚粒子，从真空中跳出来又回到质子内部。或者另一种思考方式是，场本身在质子或中子内部以某种复杂的方式被激发以得到质量。所以，物理就像年少时善意的谎言，随着年龄的增长，你会意识到事情越来越复杂。

量子场论是一个非常成功的理论，精确度可以达到小数点后 12 位，这是物理学乃至整个科学界最伟大的成就之一。这也可以说有一种哲学境界，即数学上不合理的有效性。

这确实非同寻常。应该说有一些事情我们可以计算得非常好，当我们知道我们在做什么时，我们真的可以做一些了不起的事情，即使会花很多年的时间。同样重要的是，实验上可以很好的测量。

一个例子是被称为 g-2 的量（电磁形状因子），在物理学的大问题中它不是特别重要，但它很典型。一个电子有自旋，如果把电子放在磁场中，自旋的方向会随着时间推移而进动，而 g-2 会告诉你进动的速度。人们曾天真地认为这个数字会是 1 ，而狄拉克（Paul Dirac）获得诺贝尔奖的部分原因就是他证明了这个数字实际是 2 的近似值。后来，施温格（Julian Schwinger）、朝永振一郎（Sin-Itiro Tomonaga）和费曼（Richard Feynman）因为证明其值不是 2 ，而是 2 后小数点多位，最终也获得了诺奖。随着理论发展，我们已经可以精确得到小数点后9位。令人惊讶的是，实验与理论相符合得很好，这些数据一个接一个地相互一致。在某种程度上说，这不是关于世界运行的模型，而是更接近真实世界。

这确实值得称赞。在歌颂了量子场论之后，我们也应该认识到它是一个极其复杂的，在某些方面存在问题的理论。所以，下面我们想讨论下，关于量子场论哪些部分是我们应该存疑的？或者前沿是什么方向？比如说，这个理论是不完整的，是哪方面不完整？关于量子场论还有哪些未解之谜？

这取决于你关心的领域。如果你是一个物理学家，你想计算 g-2 这个数字，那么量子场论就没有不完整的地方。当实验变得更好的时候，我们会做得更好，可以做到你想象的那样好。

但当我们和纯数学家朋友交谈时，问题就来了。我们认为量子场论中应用了相应的数学理论，但数学家不理解我们正在讨论的问题。这不是他们的错，而是我们的问题。我们正在处理的数学并没有建立在一个严格的基础上，而是对各种数学概念的一种反复的尝试。我们很确定知道我们在做什么，因为跟实验结果有很好的契合度，但它肯定没有达到数学家所能接受的严格程度。并且，我认为可能物理学家也会越来越不满意。

应该说这不是什么新鲜事，每当有新的想法，新的数学工具出现的时候，物理学家们总会接纳这些想法并运用它们，因为它们可以解决问题。而数学家们总是更“严谨”（rigor）一些。但现在，他们好像比我们慢。不知何故，量子场论中在很长时间里几乎没有什么进展，或许是我们的路走歪了。有一种紧张是它不能在数学上严谨，而不是不想尝试。

量子场论中，每一个点定义的东西比矢量或数字更复杂？

数学上的说法是，在每一点上都有一个算子，即空间中的每一点上都有一个无限维矩阵，作用于希尔伯特空间。这个算子本身就很复杂，很难定义，因此数学上是极其复杂的。在很大程度上，我们认为世界——空间和时间——是连续的，尤其空间是连续的。所以每个点上都应该有定义：在一个点旁边，无限小地靠近它之处有另一个点，对应另一个算子。

当你观察越来越小的距离尺度时，会出现无穷大，不是向外的无穷大，而是向内的无穷大。解决这一问题的一种方法是假设空间不是连续的，事实上，空间很可能就是不是连续的。你可以想象有一个晶格，数学家称之为格点。你考虑一个点 a ，距离它有限的距离是另一个点 b ，在距离 b 有限的距离是另一个点 c ，于是你离散了空间。考虑到自由度，物质只定义在这些格点上而不是在某个连续体中。这样数学家能更好地处理。

但如果我们这样做，就会有一个问题，我认为这是理论物理中最深奥的问题之一：有一些量子场论，我们根本不能这样离散化。有一个数学定理禁止我们写下某些量子场论的离散版本，即 Nielsen–Ninomiya 定理，该定理指出格点上不具有同时满足下列所有条件的费米子——厄米性、无加倍子、局域性、手征性。而那些无法离散化的量子场论中，有一种正是描述我们宇宙的标准模型。

从表面上看，这个定理告诉我们，人类并不生活在“黑客帝国”里。在电脑上模拟任何东西的方法是先离散化，然后再模拟。然而，要将我们所知道的物理定律离散化，似乎有根本性的障碍，我们不能模拟物理定律。如果你真的相信这个定理，那么我们就不是生活在模拟的世界。

我可以告诉你更多关于标准模型的具体方面，这使得它很难在计算机上模拟。有一个很好的口号，“Things can happen in the mirror that cannot happen in our world（镜花水月转头空）”。在 20 世纪 50 年代，吴健雄实验发现了宇称不守恒。这句话的意思是，当你看着发生在你面前的事情，或者你看着它在镜子里的形象，你能分辨出它是发生在现实世界里还是发生在镜子里。这是物理定律的一个方面，即镜子中所反映的与现实中所发生的不同。这点是很难或不可能模拟的。

格点本身在处理宇称上应该是对称的。但我相信这是一个微妙的定理。

自然界的每一种粒子，比如电子、夸克，它们分成两种不同的粒子——左手粒子和右手粒子。这与它们运动时自旋的变化有关。物理定律表明左手粒子与右手粒子感受到的力是不同的。这就是宇称破坏的原因。

现在，事实证明，写出一致的数学理论并使左手粒子和右手粒子感受到不同力的性质是一项挑战。有一些你必须跳过的漏洞，这在量子场论中被称为反常（anomaly），或反常消除（anomaly cancellation）。而这些微妙之处，只有在空间是连续的情况才能看到。我们无法用格点处理这些微妙的反常，另一方面我们也不能写出不一致的理论。因此，格点必须掩盖它的缺点，必须确保给出的是一致的理论。而处理方法就是不允许理论中左手粒子和右手粒子感受到不同的力。

这似乎和拓扑结构有关，有些结构允许出现一些现象。对于这些在弱相互作用中看到的异常现象，连续性是关键，而离散空间是不允许的。

这确实与拓扑学有关。

这确实是个很好的切入点，接下来我们来谈谈量子场论对数学的贡献。它给了数学家很多灵感，继而得出了非常深刻的见解，您能讲讲这个故事吗，从 90 年代说起？

这确实是量子场论中最美妙的东西之一，却也是一种讽刺：我们使用的这些数学技术，起初数学家们都非常怀疑，因为他们认为不严格。但在某些情况下，我们几乎在他们的游戏中打败了他们。我们可以把数学家感兴趣的结果交给他们，这些结果完全改变了数学的某些领域。

这其中最有用的是几何的思想，应用数学上几何的思想，物理学家取得了很大的进步。当然，几何学一直是物理学家的心头好。爱因斯坦的广义相对论告诉我们，时空本身就是某种几何对象。我们现在要讨论的即是数学中的流形——它是一些几何空间。你可以在脑海中先想象一个足球的表面，然后是甜甜圈的表面，中间有个洞。然后推广到扭结面包的表面，中间有几个洞。接下来最重要的一步，就是把这些推到更高的维度上，想象一些更高维度的物体有更高维度的孔，等等。


图片来源：Differential Forms by Hung Nguyen-Schäfer, Jan-Philip Schmidt

数学家比较关心如何将物体分类，不同类别有什么特点，它们可以有什么样的结构等问题。而物理学家有一些额外的直觉。

除此，我们还有量子场论这个秘密武器。物理学家们似乎有两个秘密武器：其一是量子场论，另一个是我们有时“故意”无视其严谨性。两者结合得非常好。比如在一个空间中有一个粒子，或者准确地说是量子粒子，一些非常有趣的事情发生了：它是遍布在空间中的概率波，因为其量子性质，我们能以此了解空间的全局性质。它可以同时感知整个空间，找出洞在哪，谷在哪，峰在哪。所以我们的量子粒子可以做一些事情，比如卡在某个洞里，这样就能告诉我们空间的拓扑结构。

量子场论的应用有很多重大的成功，其中最棒的一次是在上世纪 90 年代早期的镜像对称，它彻底改变了辛几何领域。之后内森·塞伯格（Nathan Seiberg）和爱德华·威滕（Edward Witten）解决了一个特殊的四维量子场论，这为四维空间的拓扑结构提供了新的见解。

几十年来物理学家们从量子场论中提出了新的想法，但却完全无法证明它们——因为缺乏严谨性。这时数学家们出现，这不仅仅是常规的推演可以完成的，他们通常会引入新的想法，用自己的方式来证明这些想法。这些新的想法会反馈给量子场论。因此，数学和物理之间有着非常美妙和谐的发展。事实证明，我们经常问同样的问题，但使用非常不同的工具，通过彼此讨论取得了更多的进步。

你的比喻给出了非常直观的图像，对理解量子场的这个离域的概念很有帮助。这种情况下我们不考虑其为点状的粒子，而是想象成遍布在整个时空中的物质。这些量子场非常适合检测全局特征。这不是数学上的标准思维方式——我们习惯考虑一个点和这个点的无穷小邻域。而物理学家却习惯于思考这些自动全局感知物体——比如这些场，就像你说的，可以嗅出轮廓，山谷、峰值，全局物体的整个表面？

是的，完全正确。其中一些反馈对物理学是非常重要。比如，认识到拓扑学是我们思考量子场论的基础。一些未来的计划，比如建造量子计算机，这也许是建造量子计算机最乐观的方法之一——使用量子场论的拓扑思想。如果这个方案行得通，信息不是存储在局部点，而是存储在全局空间。这样做的好处是，如果你靠近某一点，并不会破坏信息，因为它不是存储在某一点，而是同时存储在全局。

现在让让我们回到物理。你提到希格斯粒子早在五六十年前就预测到了，但我感觉，物理学家们对此感觉到失望，或者说困惑。他们希望在大型强子对撞机（LHC）的实验中看到的一些东西还没有实现，比如说超对称性。对此我们该怎么理解呢？

LHC 建立的初衷是希望能发现希格斯玻色子，我们确实做到了。希格斯玻色子是标准模型的最后一块拼图。我们有理由认为，一旦完成了标准模型，希格斯玻色子也将成为指引我们进入下一阶段的入口，即下一层次的研究。

希格斯玻色子很特别，它是标准模型中唯一没有自旋的粒子。在某种意义上，它是标准模型中最简单的粒子。如果一个粒子不自旋，我们称之为标量粒子，它的质量可以很轻。但也有一些有争议的理论，认为不自旋的粒子应该很重，这意味着可能达到最高的能量尺度。

而我们认为希格斯粒子有现在的质量是有原因的。物理学家提出了一些合理的观点，在和希格斯粒子相同的能量尺度内，应该发现一些其他粒子以某种方式使希格斯玻色子稳定。一旦希格斯粒子出现，就会出现一些额外的粒子。也许它可以用超对称的解释，也许它可以用所谓的艺彩理论（technicolor）解释，有很多很多相关的理论。而 LHC 的实验、探测器的灵敏度方面都超出了所有人的预期。这些实验学家绝对是英雄。

然而，目前在正在探索的能量尺度上是没有别的东西。我们认为我们应该发现一些新东西，可是还没有。我们仍感觉理论是对的，不知道为什么出了问题。所以，我们在量子场论中可能遗漏了一些东西，这是令人兴奋的。在科学领域犯错是件好事——只有当你知道犯错的时候，你才能最终被推向正确的方向。

这是一种很好的态度，从悖论和失望中取得了如此多的进展。我们来思考一些宇宙学的问题，比如暗物质、暗能量、早期宇宙……大爆炸之后，那时我们还没有真正的粒子。我们有什么呢，是量子场吗？

大爆炸之后有一段时间被称为暴胀，宇宙膨胀得极快，此时存在量子场。我认为在整个科学领域中最惊人的事情之一就是量子场有涨落，它们总是上下跳动。因为量子涨落，以及海森堡的不确定性原理，量子场不可能精确的是零或某个值，它们总是在量子不确定性中上下波动。

在最初的几秒钟里究竟发生了什么——几秒钟实在太长了。大爆炸的最初的 10^-30 秒宇宙膨胀得非常快。这些量子场在某种程度上陷入了一种行为，它们在波动，但随着宇宙将它们拉到巨大的尺度，这些波动被困在那里，它们不能再波动了。但这些波动传遍了整个宇宙，它们传播得太远了，波动的一部分不知道另一部分在做什么。

神奇的是我们现在可以看到它们。我们给它们拍了照片，它被称为宇宙微波背景辐射。这是 138 亿年前充满宇宙的火球的照片。我们所看到的波纹是由这些量子涨落在宇宙大爆炸后的最初几秒内播下的种子。我们可以计算出量子涨落，也可以通过实验测量宇宙微波背景的涨落。二者结果是相符合的。我们能拍下这些波动的照片是一个令人惊叹的工作。


图片来源：wiki

但这里也有一定程度的失望：我们看到的波动很普通，与从自由场中得到的类似。如果我们能得到更多的信息就更好了——在统计学上的波动一般是高斯的，如果能看到一些非高斯性，这将告诉我们在宇宙早期场之间的相互作用。这些非高斯性可能会以星系形成的方式出现，宇宙中星系的统计分布也保留了这些涨落的记忆。我们可以追踪这些波动，从最早期的阶段到现在星系在宇宙中的分布方式，这真的很不可思议。

您说波动和自由场的结果吻合是什么？“自由”是指什么，就是真空本身吗？

不只是真空，因为随着宇宙膨胀，这些场会被激发。但它只是一个不与任何其他场相互作用的场，甚至没有自相互作用。它基本上只像弹簧一样上下弹跳，每个点都像弹簧一样上下弹跳，就是你能想象到的最无聊的场。也许未来，我们能更好地研究可能的相互作用的发生。

最后，我们来谈谈你个人未来的展望。在未来几年内，你最希望去研究或者解决的问题是什么？

有许多我想去做的研究。在数学方面，我想了解更多关于 Nielsen–Ninomiya 定理的方面——为什么不能离散某些量子场论。这个定理有漏洞吗？有没有什么我们可以抛弃的假设，并以某种方式做到这一点？

在物理学中，所谓 no-go 定理，通常被称为“不可行”定理，即你不能这么做，但它通常也暗示了你应该看向的方向。一个正确的数学定理，有非常严格的假设，也许我们可以抛弃这个或那个假设，并取得一些进展。

在实验方面，一些新发现的粒子可以提供新的线索和暗示。最近的一个是W玻色子的质量问题，这看起来很奇怪，有可能提供暗物质的线索。

你提到的暗能量，也可能对量子场论给出了一些建议。所有这些量子场的涨落都应该推动着宇宙的膨胀。但在某种程度上，这比我们实际看到的要大得多。这和希格斯粒子的问题是类似的。为什么希格斯粒子这么轻？暗能量也存在类似的问题。为什么宇宙加速度比我们想象的要小。我们有一些理论来解释，但很明显，其中有很多我们不了解的部分。

# 受访者简介 #

David Tong ，剑桥大学理论物理学教授，三一学院 Fellow 。他的研究方向是量子场论——涉及到物理学及数学许多不同部分的理论。他也是一位极具天赋的教师（http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/teaching.html）。2008 年他被授予剑桥大学颁发的最负盛名的奖项之一亚当斯奖。他还得到西蒙斯基金会的资助。



参考资料

1. https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-662-48497-5_4

2. https://en.wikipedia.org/wiki/Nielsen%E2%80%93Ninomiya_theorem

3. https://en.wikipedia.org/wiki/No-go_theorem

4. https://en.wikipedia.org/wiki/Planck_(spacecraft)

5. https://en.wikipedia.org/wiki/Dark_energy

本文编译自 What Is Quantum Field Theory and Why Is It Incomplete? 原文链接：https://www.quantamagazine.org/w ... ncomplete-20220810/