比例理论对早期力学的作用

luyuanhong

比例理论对早期力学的作用

作者 | 刘瑞祥

笔者曾写过一篇文章《浅谈＜几何原本＞中的比例论》，对《几何原本》中的比例论作了介绍，本文将跳出《原本》的范围，看看比例论在其它方面的作用。需要提前说明的是，本人只是一个数学爱好者，数学“造诣”很低，所以无论哪篇文章都可能有错谬之处，非常希望得到读者们的指正，倘或千虑中偶有一得，亦希望得到读者的认可。

笔者认为，古希腊比例论有四大成就：

1. 用比较大小的方式重新定义了比和比例，使比例论适用于一切连续量；

2. 建立了关于比例的一系列命题，实际上实现了连续量的四则运算（这里关键是涉及了不可公度量，即无理数）；

3. 通过对各种命题的论证，示范了比例论的应用方法。

4. 在部分涉及比例的命题中应用了穷竭法（一种涉及无限过程的双重否定法），解决了各种难题，实际上已经有了积分的萌芽。

下面笔者针对本文题目举例介绍。

一、阿基米德论述杠杆平衡条件



在今天的《阿基米德全集·论平面图形的平衡 I 》中，阿基米德先是提出了七条公设，并建立了命题 1～命题 5 ，下面介绍其中一部分：

公设 1 ：相等距离上的相等重物是平衡的，而不相等距离上的相等重物是不平衡的，且向距离较远的一方倾斜。

公设 2 ：如果相隔一定距离的重物是平衡的，当在某一方增加重量时，其平衡将被打破，而且向增加重量的一方倾斜。

公设 3 ：类似地，如果从某一方取掉一些重量，其平衡也将被打破，而且向未取掉重量的一方倾斜。

命题 1 ：在相等距离上平衡的物体其重量相等。

命题 2 ：距离相等但重量不等的物体是不平衡的，而且向较重的一方倾斜。

命题 3 ：若重量不相等的物体在不晓得的距离上处于平衡状态，则较重者距支点较近。

命题 4 ：若两个物体的重量相等但重心不同，则其总体的重心在它们的重心连线的中点上。后面的命题 5 及推论把重心命题 4 推广到了任意奇数和偶数个物体。

这之后阿基米德提出了命题 6 和命题 7 ：

可公度[命题 6 ]或不可公度[命题 7 ]的两个量，当其[距支点的]距离与两量成反比例时，处于平衡条件。

这就是著名的杠杆平衡条件，值得注意的是上面区分了可公度和不可公度两种情况。书中的论证过程在现代看来是冗长的，但在当时却是必要的。因为古希腊数学最突出的精神就是，极力将论证依据（公理、公设）压缩到最少，从这些基本前提出发一步一步坚实地获得结论。许多现代人看起来是很简单的实验结果，在古希腊时却需要从更基本更简单的事实依据逻辑得出。

在此之后，阿基米德进一步论述了求平行四边形、三角形和梯形重心的方法。这便是该卷的全部内容。

二、伽利略对匀速直线运动的研究



《两门新科学的对话》中，“第三天”的第一部分内容是关于匀速直线运动的。我们来看伽利略是如何利用逻辑推理的方法来解决这个现在看来很简单的问题的。

伽利略首先提出了下面的定义和公理：

定义：所谓稳定运动或均匀运动是指那样一种运动，粒子在运动中在如何相等的时段中通过的距离都彼此相等。

公理 1 ：在同一均匀运动的事例中，在一个较长的时段中通过的距离大于在一个较短的时段中通过的距离。

公理 2 ：在同一均匀运动的事例中，通过一段较大距离所需要的时间长于通过一段较小距离所需要的时间，

公理 3 ：在同一时段中，以较大速率通过的距离大于以较小速率通过的距离。

公理 4 ：在同一时段中，通过一段较长的距离所需要的速率大于通过一段较短的距离所需要的速率。

以上四个公理充其量是半定量的，完全没有现代的匀速运动公式，而让人感到新奇的是，紧接其后的定理 1 命题 1 就已经是定量的了：

如果一个以恒定速率而均匀运动的粒子通过两段距离，则所需时段之比等于该二距离之比。

这之后一直到定理 6 命题 6 ，都是关于匀速运动公式的文字描述。我们要注意的是，定理 1 命题 1 的论证过程用到了《原本》中的比例定义：

有四个量，第一量比第二量与第三量比第四量叫做相同比，如果对第一与第三个量取任何同倍数，又对第二与第四个量取任何同倍数，而第一与第二倍量之间依次有大于、等于或小于的关系，那么第三与第四倍量之间便有相应的关系。（设 a、b 是同类的两个量，c、d 也是同类的两个量，对任何的整数 m 与 n ，若三个关系式 ma＜nb、ma=nb、ma＞nb 之一成立时，必有 mc＜nd、mc=nd、mc＞nd 中对应的那个成立，则说 a 比 b 与 c 比 d 有相同的比。即四个量成比例，称为 a 比 b 如同 c 比 d 。）

三、牛顿《原理》中的比例



王克迪先生在《原理》的中译本里，谈到牛顿的数学方法时这样说到：

首先，牛顿大量使用作图，采用几何学的证明方法；其次，牛顿大量运用比例关系式，这一点令读者感到繁杂，但却正是牛顿的论证有力之处：它在灵魂上符合牛顿的可测度空间和时间以及重量等物理概念只是相对性的见解，运算中回避了拘泥于单位制的麻烦；而在技巧上使牛顿极为方便地引入了他发明的极大极小比方法。

中如此频繁地应用比例，而且各命题的论述难度又很大，以至于笔者很难找到一个命题作为代表，不妨以命题 4 定理 4 为例介绍：

沿不同圆周等速运动的若干物体的向心力，指向各自圆周的中心，它们之间的比，正比于等时间里掠过的弧长的平方，除以圆周的半径。

就是匀速圆周运动的向心力公式。作者后面又列出九个推论，作了进一步的说明：

推论 I ，由于这些弧长正比于物体的速度，向心力正比于速度的平方除以半径。

推论 II ，由于环绕周期正比于半径除以速度，向心力正比于半径除以环绕周期的平方。

推论 III ，如果周期相等，因而速度正比于半径，则向心力也正比于半径，反之亦然。

推论 IV ，如果周期与速度都正比于半径的平方根，则有关的向心力相等，反之亦然。

推论 V ，如果周期正比于半径，因而速度相等，则向心力将反比于半径；反之亦然。

推论 VI ，如果周期正比于半径的3/2次方，则向心力反比于半径的平方；反之亦然。

推论 VII ，推而广之，如果周期正比于半径 R 的多次方 R^n ，因而速度反比于半径的 R^(n-1) 次方，则向心力将反比于半径的 R^(2n-1) 次方；反之亦然。

……

笔者开始动笔构思本文的时候，曾拟介绍更多内容，比如比例论在法拉第、波义耳-马略特以及焦耳、欧姆等人的关键贡献中的作用，后因一直不能找到资料作罢。希望今后能完成这些内容，或者至少给读者一个更完整的交代。