二项和不定方程的终极探索

费尔马1

二项和不定方程
A^x+B^y=C^z
（1）当x、y、z两两互质时，原方程有正整数解；
（2）当x、y、z三个数中的一个数与另外两个数互质时，原方程有正整数解；
（3）当x、y、z中有一个数包含另外两个数的因子时，原方程无正整数解（即又一大定理）。

费尔马1

二项和不定方程
A^x+B^y=C^z
（1）当x、y、z两两互质时，原方程有正整数解；
（2）当x、y、z三个数中的一个数与另外两个数互质时，原方程有正整数解；
（3）当x、y、z中有一个数包含另外两个数的因子时（特别情况时，三个指数中最多只能有一个指数是2），原方程无正整数解（即又一大定理）。

费尔马1

（一） 二项和不定方程
A^x+B^y=C^z
（1）当x、y、z两两互质时，原方程有正整数解；
（2）当x、y、z三个数中的一个数与另外两个数互质时，原方程有正整数解；
（3）当x、y、z中有一个数包含另外两个数的因子时（特别情况时，三个指数中最多只能有一个指数是2），原方程无正整数解；
（二）根据定向勾股数来判断：
（1）A^（2x）+B^(2y)=C^(2z)
此方程式的三个指数都拿出因子2之后，剩下的三个数只要两两互质，原不定方程就有正整数解。
注：剩下的这三个数可以其中一个数含2^k，当然，全部是奇数更好，更容易解方程。
例如：A^6+B^8=C^10就有正整数解……
（2）A^（2x）+B^(2y)=C^(2z)
当三个指数都拿出因子2之后，剩下的三个数中，若有两个数再含因子2，则原不定方程无正整数解；
例如：A^8+B^10=C^12就无正整数解……
（三）多项和（多于二项和的）不定方程，无论指数互质与否，个个有正整数解，即使是同次幂不定方程也有正整数解，例，3^3+4^3+5^3=6^3……