代数数与合成方法论

白新岭

也是今天对代数数开始了解的：
满足形如（n为正整数，an≠0）的某整系数代数方程的复数。其中首项（最高次项）系数为1的整系数代数方程的根则叫做“代数整数”。
解释
满足形如a_n x^n+a_(n-1) x ^(n-1)+…+a_1 x+a_0= 0（n为正整数，a_n≠0）的某整系数代数方程
代数数
代数数
的复数。其中首项（最高次项）系数为1的整系数代数方程的根则叫做“代数整数”。 例如是一个实代数数，它满足方程x^2－2=0 。再如全体有理数及i (=√-1)等都是代数数。每个有理数都是代数数，因为它满足方程 nx-m =0（m，n为整数 ，n≠0）。可见代数数集包含了有理数集。然而，代数数集并不包含全部实数。代数数集是一个可数集，即所有代数数能与全体自然数建立一一对应，而实数集是不可数的无穷集，因此，一定存在不是代数数的实数。现已证明 π和e这些无理数不是代数数，但不是所有的无理数都不是代数数。不是代数数的数称为超越数。由此可见，就实数集而言，实数既可按有理数和无理数分为两类，又可按实代数数和实超越数分为两类。实代数数集是有理数集的自然扩充。
         代数数论 - 数论重要分支
数论的一个重要分支。它以代数整数，或者代数数域为研究对象，不少整数问题的解决要借助于或者归结为代数整数的研究。因之，代数数论也是整数研究的一个自然的发展。代数数论的发展也推动了代数学的发展。引申代数数的话题，关于代数整数的研究，主要的研究目标是为了更一般地解决不定方程的问题，而为了达到此目的，这个领域与代数几何之间的关联尤其紧密。代数数论主要起源于费马大定理的研究。法国数学家P. de费马在学习与翻译丢番图的《算术》一书时，在书边上写下了著名的"大定理"，即方程x^n + y^n = z^n(n>2)没有xyz≠0的整数解。
       具体介绍
代数数论主要起源于费马大定理的研究。法国数学家P. de费马在学习与翻译丢番图的《算术》一书时，在书边上写下了著名的"大定理"，即方程x^n+y^n=z^n(n>2)没有xyz≠0的整数解。他说他已得到了这个结果的证明，由于地方太小而未写下。经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁·怀尔斯和他的学生理查·泰勒于1995年成功证明。证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。而安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。

容易看出，这个结果的证明，可以归结到n=4以及n为奇素数的情形。费马本人给出了n=4的证明,L.欧拉与A.-M.勒让德证明了n=3的情形，P.G.L.狄利克雷证明了n=5的情形。虽然对于许多奇素数,人们已经证明了这个结果，但始终没有得到一个一般的证明。E.E.库默尔是努力证明费马大定理的数学家之一。他利用n次本原单位根代数数论把方程 xn+yn=zn写成(公式1)代数数论,他以为在分圆域代数数论中， "整数"也象普通整数一样，可以唯一地分解成素数的乘积。在这个前提下，库默尔给出费马大定理的证明。不久，他自己发现他的假定是错误的，即在分圆域中， "整数"分解成素数的乘积不具有唯一性。这个发现使库默尔引入"理想数"的概念,他随之证明了,每个"理想数"可以唯一地分解成素因子的乘积，因而就建立了分圆域上的数论。J.W.R.戴德金把库默尔的工作系统化并推广到一般的代数数域，为代数数论奠定了基础。

C.F.高斯关于二元二次型的深入研究也引起了二次数域算术的研究。

有理数域Q上的有限扩张K 称为有限次的代数数域，K 对Q 的次数n=【K】就是指K作为Q上线性空间的维数。K中每个元素都是一个次数不超过n的有理系数多项式(公式2)的根。因为乘一非零整数后，多项式的根不变，所以不妨假定(1)是整系数多项式。如果K 中元素α使一个首项系数为1(即α0=1)的整系数多项式(1)为零,那么α就称为一代数整数。K 中全体代数整数组成一个具有单位元素的交换整环OK。对于环OK中的理想A、B定义乘法(公式3)

即由A、B中元素之积的有限和组成的集合，显然，AB也是OK的理想。一个理想P 称为素理想,就是指由αβ∈P必有α∈P或β∈P。可以证明，在代数整数环OK中,每个非零理想A都可以唯一地分解成素理想的乘积,即A=P1P2…Pt，其中Pi(i=1,2,…,t)是素理想。在通常的整数环Z中,每个理想都是由一非负整数的倍数所组成，因之，非零理想与正整数是一一对应的。由此可见，关于理想分解的定理正是通常整数的因子分解定理的一个推广。

OK的全体非零理想组成一乘法半群, OK就是这个乘法半群的单位元素。为了方便，引入分式理想的概念。如果K 的一个子集合A是一个有限生成的OK模,那么A 就称为一分式理想。显然,理想全是分式理想。由K中任一元素α 的整数倍rα(r∈OK)组成的集合也是分式理想,它们称为主分式理想。对于分式理想可以同样地定义乘法。可以证明,K 中全体非零的分式理想在乘法下成一群,而且每个分式理想A 都可以唯一地表成素理想方幂的乘积(公式4)这个群称为K的理想群，记为IK。

环OK中可逆元素称为单位。全体单位组成一乘法群，记为UK。显然,K 中非零元素α 生成的主理想(α)=OK的充分必要条件是α∈UK。下面的正合列是基本的(公式5)

其中K*表示K 中全体非零元素组成的乘法群,而φ 把K*中元素映射到它生成的主理想(公式6)CK称为K的理想类群,其元素是理想类。按定义IK，中两个理想A、B属于同一类,当且仅当有α∈K*使A=αB。代数数论中一个基本的事实是:CK为一有限阿贝尔群,hK=|CK|称为K的类数。当hK=1，即每个理想都是主理想，OK为一主理想环，从而因子分解唯一性定理成立。在一定意义上，理想类群CK与类数hK反映了代数数域K在算术上的复杂性。直到现在，类群结构的研究与类数的计算，始终是代数

数论中重要问题之一。即使是二次域类数的计算也是很困难的，一个值得注意的进展是 Heegner最先证明了(公式7)它们分别是d=1，2，3，7，11,19,43,67，163等9个被业界称为Heegner 数。[1]

正合列(2)的另一端是单位群UK,它的结构已被狄利克雷完全决定。他证明了UK=HK×VK,式中HK为K中全部单位根组成的有限群,VK是一秩为r1+r2-1的自由阿贝尔群,r1为K 到实数域R 同构的个数，2r2为K到复数域C 同构(非实的)个数。VK的一组基称为基本单位组。具体算出基本单位组是代数数论中又一个重要的问题。基本单位组与类数有密切的联系。整数环中一个素数p 在OK中生成一个理想pOK，一般地，它不一定是OK中的素理想。研究素数p 在OK中的素理想分解的规律，是代数数论中一个中心问题。下面把这个问题放在一个更广的形式下来讨论。

设L是代数数域K上的一个l次扩张，L当然仍是一个代数数域。它的代数整数环为OL，显然,(公式8)且OL为OK的一个有限生成模。
      
还有些内容就不发了

从代数数，代数数论对高次方程的解研究使我想起了：
      在合成方法论中，它们研究的是一元高次方程的解问题，而合成方法论是研究一次多元线性不定方程的解组问题，一个是“次”为阶的，一个是“元”为阶的，它们之间有着深刻的联系。
        在我对线性不定方程满足条件的正整数解组数的研究中，引入了：合成方法论，它是一个强大的数学工具，对于与素数（整数）有关的问题，做了深入的刻画，在合成方法论中，可以明确指出那类数有解，那类数没解。
       今天所顿悟的是，素数2可以一棒子打死，在x+y=n中，如果限制x，y是素数，则当n=2m-1无解。
        如果在x+y+z+....+u=n中，如果限制，未知数只能取某素数的一个剩余类，则无论多少元，都不能全覆盖，自始至终，只能覆盖一个剩余类，这种效果，如同正整数1在乘法中的效果，无论多少次，它还是1，不可能扩类。
这是整体1不能分解性，不具开方性造成的。再如，用绑定的最密3生素数，无论加或减，都会是一种结果，对于3只有一个剩余类可以合成，这里的一切与代数数，代数数论之间有着深刻的联系。

白新岭

如果OL是OK上一自由模(秩一定是l),那么在OL中就有l个元素r1，r2，…，rl构成OL的一组基,即(公式9)这样的元素组r1,r2,…，rl称为OL对于OK的一组整基。当OK是主理想环时,由主理想环上有限生成模的结构定理可知,OL对于OK一定有整基。特别地,代数整数环OK对于整数环Z一定有整基。

设P是OK中一个素理想。POL是OL中一个理想,它在OL中有素理想分解(公式10)

因为代数整数环是戴德金环，素理想都是极大理想，即代数整数环对于素理想的商环是域。对于(3),可以证明Qi∩OK =P,i=1,2,…,g。因而OK/P可以看作OL/Qi的子域。令(公式11)它称为Qi对于P的剩余次数,ei称为Qi对于P 的分歧指数。于是有(公式12)

如果在(3)中有某个ei>1,即POL被素理想Qi的平方整除，就说P 在L 中分歧,而Qi就称为在K上分歧。否则就称为非分歧。如果OK中所有的素理想在L中都是非分歧的，L就称为K 的一个非分歧扩张。

判别式与差积是刻画分歧的两个重要概念。令Tr表示有限扩张L到K 的迹。对于L中任意l个元素v1,v2,…,vl，可知det│Tr(vi,vj)│=0的充分必要条件是v1，v2,…,vl，在K上线性相关。在OL中取l个在K上线性无关的元素v1，v2，…，vl，作(公式13)对于OL中所有可能的线性无关的元素组 v1，v2，…，vl,det│Tr(vi,vj)│在OK中生成一个理想Δ(L/K),它称为L对于K的判别式。可以证明,OK中素理想P在L中分歧,当且仅当P|Δ(L/K)。由此可知,K中分歧的素理想只有有限多个，且L为非分歧扩张的充分必要条件是:Δ(L/K)=OK。利用判别式可以证明,有理数域上没有次数大于1的非分歧扩张。

在L中定义C={v∈L│Tr(vOL)嶅OK}，显然C 是L的一个分式理想,且C叾OL。令 δ(L/K)=C-1，它是OL中一个理想，称为L对于K 的差积。可以证明，OL中素理想Q在K上分歧，当且仅当Q|δ(K/L)。差积与判别式有密切联系。

研究代数数域的算术性质与代数性质之间的联系，是代数数论的一个重要的方面。

设L/K是一伽罗瓦扩张,g=g(L/K)是伽罗瓦群。可以证明，在分解式(3)中,素理想Q1，Q2，…,Qg在伽罗瓦群 g下是可迁的，因而有即对于OK中素理想P有代数数论代数数论且Q1,Q2，…,Qg有相同的剩余次数ƒ。公式(4) 就成为l=eƒg。 令 D1为 Q1在 g 中的稳定子群，即代数数论代数数论，显然【g1】=g，|D1|=eƒ。令 岧=OL/Q1，噖 =OK/P，于是D1中每个元素诱导出岧/噖 的一个自同构。可以证明，代数数论是一满同态。令K1为这个同态的核，显然，【D1:K1】=ƒ，│K1│=e，D1称为Q1的分解群，K1称为Q1的惰性群。对Qi相应地有子群Di与Ki, 在g中它们分别与D1与K1共轭。当 P非分歧时,代数数论代数数论(因噖、岧是有限域)。由伽罗瓦基本定理，相应地有一串域代数数论代数数论是L的一个最大的域,P 在其中不分歧。当P 分歧时，群K1还可进一步细分，即定义所谓高阶分歧群。这是由D.希尔伯特建立的一套重要的理论，称为希尔伯特分歧理论。

对于代数数域上的阿贝尔扩张,有很深刻的结果,即所谓类域论。

白新岭

唯一因子
代数数域K的整数环OK的元素的素分解和整数环Z的素数分解有不同之处，不是每个OK的元素都唯一分解。虽然OK元素的唯一分解束在某些情况下可能成立，如高斯整环，但在其它情况下可能会失败， 如二次域Z [√-5]中，6就不是唯一分解

OK的理想类群是一个整数环OK的元素是否唯一因子分解的度量，特别是当整数环OK理想类群是平凡群时，当且仅当O为唯一分解整环

O的唯一因子分解和OK素理想间关系

OK元素的唯一分解可能成立:这时OK的理想的唯一分解成素理想(即它是一个戴德金整环)。这使得在研究OK的素理想尤其重要。从另方面，从整数环Z更改为代数数域K的整数环OK后，整数环Z中素数就能生成Z素理想(其实，Z的每一个素理想(p)的形式是:pZ)可同一素数在O中可能不再生成素理想，例如，在高斯整环中，理想2Z[i]不再是素理想，

但理想3Z[i]是一个素理想。高斯整环唯一因子分解完整的答案使用费尔马大定理，其结果为:

得出这种简单的结果对更一般的整数环来说是代数数论的基本问题。当代数数域K是有理数Q的阿贝尔扩张时(即阿贝尔群的伽罗瓦扩张)类域论实现了这一目标。

白新岭

素元和素点
(根据类域论，因K为有理域Q时OK才有唯一分解，以下K=Q，注意有理域Q和有理数域不同，实域R和实数域不同)

在OK素理想的概念的一个重要的推广是理想论，也叫赋值论，这两种方法之间的关系如下:

运算为通常的绝对值函数|·|，映射有理域Q→实域R的，令绝对值函数|·|p: 定义称为p-adic绝对赋值，p∈Z中的素数。由奥斯特洛夫斯基的定理，所有p-adic绝对赋值对Q是等价类,p-adic绝对赋值可看成类似通常素数。更普遍的，代数数域K的绝对赋值称为一个素点places。K中素元分两类:像p-adic绝对赋值|·|p这种等价类是有限的，被称为有限素元(有限素点)。而通过复域C的模|·|方式定义的素元可看成复域C一个无限子集，被称为无限素元(或无限点)。因此，一般表示Q的素元集合为{2，3，5，7，...，∞}，在这种情况下|·|∞是有理域Q的素元(素点)

K的无限素元可有嵌入同态K→C(即非零的环同态，从K到C)。具体来说，可把嵌入分成两个不相交的子集，那些像在R中算一个子集S1，其余的为另一子集S2。S1的每个嵌入σ:K→R，对应唯一一个和通常绝对值一样的绝对赋值;这种方式产生的一个素元的被称为一个实素元(或实素点)。S2的一个嵌入τ:是K→C不包含在R中的的像，可以形成另一个唯一的嵌入τ，称为共轭嵌入，组成的复共轭映射为τ的C→C.而此绝对赋值为复数的模:|z| = |z| 。这样的素元叫一个复素元(或复素点)。这样无限素元的集合的描述如下:每个无限素元对应到一个唯一的.

白新岭

无畏
宁愿被绊倒无数次，
也不愿规矩走一辈子