趣题征解：任给正整数 k ，求最小正整数 q 使得有理数 p/q 的循环节长 k 对某 p 成立

王守恩

我还是喜欢(1)，前面没有的就是答案。

(1),Table[FactorInteger[10^n - 1], {n, 1, 10}]

(2),pp={}; Do[f=Transpose[FactorInteger[10^n-1]][[1]];
p=Complement[f,pp]; pp=Union[pp,p]; Print[p],{n,16}]

(3),a[n_] := Cyclotomic[n, 10] // FactorInteger // First // First; Table[a[n], {n, 1, 26}]

(4),a[n_] := Cyclotomic[n, 10] // FactorInteger // Last // First; Table[a[n], {n, 1, 26}]

elim

到 https://stdkmd.net/nrr/repunit/tm.cgi?p=3 可下载结果

elim

不知道要不要翻墙。

王守恩

elim 发表于 2022-11-3 09:14
不知道要不要翻墙。

进不去。点开 A007138，还是可以欣赏前364项的。

王守恩

A007138        

18世纪，给出了前16项
2010年6月1日给出前276行项
2017年5月1日，给出了前322项
2022年4月26日，给出了前352项
最新：文件被截断为前364项，因为a(365)被发现是错误的

a(1)=3, a(2)=11, a(3)=37, a(4)=101, a(5)=41, a(6)=7,......, a(100)=60101,......

3, 11, 37, 101, 41, 7, 239, 73, 333667, 9091, 21649, 9901, 53, 909091, 31, 17, 2071723, 19,
1111111111111111111, 3541, 43, 23, 11111111111111111111111,  99990001, 21401, 859,
757, 29, 3191, 211, 2791, 353, 67, 103,  71,  999999000001,  2028119,  909090909090909091,
900900900900990990990991,1676321,83,127,173,89,238681,47,35121409,9999999900000001,
505885997,  251, 613, 521, 107,  70541929, 1321, 7841, 21319,  59, 2559647034361,  61, 733,
909090909090909090909090909091,  10837, 19841,  162503518711, 599144041, 493121,
28559389,  277,  4147571,  241573142393627673576957439049,  3169,  12171337159,
7253,151,722817036322379041,5237,157,317,5070721,163,2670502781396266997,
3367147378267,226549,262533041,57009401,4003,617,497867,29611,547,1289,
900900900900900900900900900900990990990990990990990990990991,
6299, 191, 97, 12004721, 197, 199,  60101,

网友们：这些数会有规律吗？

a(k)=2k+1: 3, 67, 83, 89, 107, 151, 157, 163, 191, 197, 199, 227, 283, 293, 307, 311, 347, 359, 373, 401,

a(k)=k+1:  7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257,

a(2)=11,a(19)=1111111111111111111,a(23)=11111111111111111111111,a(371)=111...1111

elim

@王守恩老师 给你看一个相关的计算

蔡家雄

王守恩 发表于 2022-11-4 10:47
A007138        

18世纪，给出了前16项

a(k)=k+1:  7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257,

即 1/a(k) 具有最大的完全循环节 ！