什么是狄拉克所说的方程之美？

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什么是狄拉克所说的方程之美？

作者 | 高涌泉（台湾大学物理系教授）

来源 |《形上集》

我在 7 月号专栏「形上集」中提到，对于物理（现象、理论）有敏锐的感受似乎不是成为称职物理学家的必要条件，反而某些没有深刻专业知识的外行人能够具有这种感受。不过对于物理的认识若要提升至另一境界，不可思议的感受与洞见倒是不可或缺的。量子力学大师狄拉克有一些经典例子值得拿出来谈。

狄拉克在科普杂志 Scientific American 1963 年 5 月号发表了一篇文章《物理学家自然观的演化》，里面有句话常被引用：「一个方程式，与其能够符合实验，更重要的是要有美。」这句话颠覆了一般人对于科学的认知：科学追求的是真理，必须以实验所呈现的事实为本。例如费曼在论及寻找物理新定律时，就曾强调无论你所猜测的定律有多么美妙，只要与实验不符，这猜测就是错的，就必须抛弃，也就是说，当美与真有冲突时，科学必须取真弃美。狄拉克当然不能否认实验是科学的最终依据，但是他却还是要把美放在实验之上，显然另有深意。

要理解狄拉克的名言，首先要追究的是，他所谓的美到底是怎么回事，因为美与实验相比，显然更为主观，更不易捉摸，如何可以用来区分方程式的高下？狄拉克在 1956 年访问俄罗斯莫斯科大学，受邀留下一句赠言，于是他在黑板上写了「物理定律应该具有数学之美。」这句话比前述我引用的名言更明确地界定了他所谓的方程式之美，但还是不够，因为数学之美依旧有些朦胧，例如毕氏定理是美或不美呢？终归来说，美是一种感受，不适合当做划分黑白的判准。

狄拉克在 1963 年的文章中举了一个例子来支持他的论点，这是薛丁格告诉他的故事：薛丁格在发表他著名的（非相对论性）量子波方程式之前，其实曾先推得一个符合相对论性原理的方程，但是他发现从这个方程所解出的氢原子能谱与实验不符，失望之下，薛丁格便拦下了这个方程，因而被他人抢先发表，以致于我们今天称这个相对论性方程式为「克莱恩一戈登（KG）方程」。狄拉克认为薛丁格不应过早迁就实验，而放弃 KG 方程，因为 KG 方程的解涵盖了薛丁格方程的解，在非相对论性的近似下，两个方程的能谱是一样的。

KG 方程的缺点是它忽略了电子自旋的效应，但是薛丁格方程的缺点更大，因为它不仅没包括自旋，连相对论性效应也忽略了。狄拉克认为 KG 方程是一个美丽的方程式，尽管不完全适用于描述电子，但仍然是非常有价值的进展（KG 方程用来描述无自旋的介子）。

不过薛丁格方程式有一个很大的优点，那就是它在时间这个变数上是一阶微分方程（即方程式只涉及把波函数对时间取一次微分）；KG 方程没有这个优点，因为它是时间的二阶微分方程。为什么这是重要的事呢？因为时间的一次微分方程意味着，我们只要知道某个时刻的波函数，就可以由一次微分推导出尔后任何时刻的波函数。（若是二次微分，我们还需额外知道某时刻波函数的一次时间微分才行。）量子力学就是建构在这样的假设之上。

在薛丁格方程确立之后，多数人以为只要加上自旋效应，KG 方程即是电子遵循的相对论性方程式，例如波耳就这么想。不过狄拉克、包利等少数几人知道这是不足的。在这些人之中，只有狄拉克一人认定量子力学的数学基础很稳固（这是他自己帮忙建立起来的！），所以相对论性电子方程一定是一阶微分方程，他也因此寻得公认美丽的狄拉克方程式（参见上图，其中的 p0、p1，… 等都是一阶微分算符，α1、α2，… 与 β 等是 4×4 矩阵。此方程自动将包括自旋在内，也预测了正子的存在。从狄拉克方程式的来历看，我会说狄拉克认为的美包括理论架构的紧密度以及对称性等要素。但这些要素也只有在狄拉克手里才能发挥功能。

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数学之美或即数学方程之美在不少情况下是由（方程的）对称性来体现的。