已知 ΔABC 面积为 1/4，外接圆半径 R=1，试比较 √a+√b+√c 与 1/a+1/b+1/c 的大小

dodonaomikiki

2018上交自招题，比较大小



我一开始，想的很简单：搞一个特殊值出来！
结果构造一个等三角形之后，解方程受到阻碍！
不晓得有什么好的办法？

Nicolas2050

SLUTION:
在△ABC中,三边长为a,b,c.R为外接圆的半径）
证明:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D.
连接AD.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R.
由正弦定理得：a/sinA=b/sinA=c/sinC=2R。
证毕。


由正弦定理可以知道a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,（R为外接圆的半径）,所以sinC=c/2R;再由三角形的面积公式S=1/2*absinC,将sinC=c/2R代入于是S=abc/4R.

三角形面积=abc/4R, R为外接圆半径。
由r=1 面积为1/4可得 abc=1
1/a+1/b+1/c-(√a+√b+√c )

=(abc)/a+(abc)/b+(abc)/c-[√a(abc)+√b(abc)+√c(abc) ]

=ab+bc+ca-a√bc-b√ca-c√ab

=[2(ab+bc+ca)-2(a√bc+b√ca+c√ab)]/2

=[(ab+bc-2b√ac)+(bc+ca-2c√ab)+(ca+ab-2a√bc)]/2

=[(√ab-√bc)^2+(√bc-√ca)^2+(√ca-√ab)^2]/2

a，b, c为互不相等的正数,所以上式大于零.即
1/a+1/b+1/c>√a+√b+√c

或用柯西不等式。
原式化为ab+bc+ca>√aabc+√abbc+√abcc
由柯西不等式知
(ab+bc+ca）(ac+ab+bc)>(√aabc+√abbc+√abcc)^2
于是原题得证 。

Nicolas2050

证明:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
在△ABC中,三边长为a,b,c.R为外接圆的半径）
任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D.
连接AD.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R.
由正弦定理得：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。
证毕。

dodonaomikiki

Nico兄dai四两拨千斤，
非常绝妙，Thank   U！
可谓是，一个小数学家



整理如下，在下楼

dodonaomikiki

\(    S=\frac{ab}{2}sinC, \frac{C}{2R}=sinC                       \)
  \(    \Longrightarrow    S=\frac{ab}{2} \bullet   \frac{C}{2R}=  \frac{abc}{4R}       \)


We  have  known   that
  \(    \frac{1}{4}=\frac{abc}{4}       \)
  \(    \Longrightarrow   abc=1       \)
Okay
\begin{align*}
\frac{1}{a}+  \frac{1}{b}  +    \frac{1}{c}   -(\sqrt{a}     +\sqrt{b} + \sqrt{c}                )\\
&=abc(\frac{1}{a}+  \frac{1}{b}  +    \frac{1}{c} )-\sqrt{abc} (\sqrt{a}     +\sqrt{b} + \sqrt{c}                ) \\
&=bc+ac+ab-a\sqrt{bc}     -b\sqrt{ac} -c \sqrt{ab}  \\

&=\frac{2bc+2ac+2ab-2a\sqrt{bc}     -2b\sqrt{ac} -2c \sqrt{ab}  }{2}\\

&=\frac{  (\sqrt{bc} -\sqrt{ac} )^2  + (\sqrt{bc} -\sqrt{ab} )^2 +  (\sqrt{ac} -\sqrt{ab} )^2                 }{2}\\
&【Cauz   \qquad   a \ne b \ne  c】\\
&\succ    O\\
\end{align*}

  \(  \Longrightarrow   \frac{1}{a}+  \frac{1}{b}  +    \frac{1}{c}  \succ   \sqrt{a}     +\sqrt{b} + \sqrt{c}            \)