好蛋大爷的纠缠谱猜想——路径积分虫洞效应揭示纠缠谱与能谱的迷离关系

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好蛋大爷的纠缠谱猜想——路径积分虫洞效应揭示纠缠谱与能谱的迷离关系

一个好的猜想，值得一个漂亮的证明，和一些恰到好处的推广。从路径积分虫洞效应出发，我们的工作提供了理解好蛋大爷的纠缠谱猜想的一个好的思路，也孵出了额外的“好蛋”。

撰文 | 严正（香港大学物理系研究助理教授）

一  纠缠谱猜想

数学爱好者都喜欢证明猜想，比如黎曼猜想、哥德巴赫猜想等等。其实物理界也有一些传奇人物的猜想，比如 2016 年诺奖（拓扑物理）得主之一，好蛋大爷（F.D.M. Haldane，此处“好蛋”乃爱称，绝无不敬之意。Tips: 好蛋用广东话读和英语更配哦～）就有一个很著名的猜想，即，自旋半整数链无能隙，而自旋整数链存在能隙[1]。这其实是拓扑物理的开端之一，里面涉及的边缘态、分数激发等有着丰富的物理内容，感兴趣的可以去看多体物理界的呐喊彷徨卡洛君（你懂的）等人之前的科普文[2]。

其实好蛋大爷还有另一个有名的猜想： 拓扑态的低能纠缠谱应该与边缘态的能谱相似[3]。笔者要介绍的近期工作，就是关于这个主题的。我们最近在发展量子蒙卡求解纠缠谱的过程中，意识到路径积分构型下的虫洞效应是解释纠缠谱和物理系统能谱看似迷离关系的钥匙，同时发现虫洞的物理图像不但可以解释好蛋大爷的猜想，还能进一步推广纠缠谱与能谱的一般关系！

早在 2008 年，Li Hui 和好蛋大爷就提出了一个十分新潮的概念：用纠缠谱替代纠缠熵来表征多体物态应该是更普适的。因为纠缠熵是一个数值，而纠缠谱却类似于一个指纹，包含了更多的信息。在他们的开创性论文中[3]，以 ν=5/2 分数量子霍尔态为例，发现了它们都拥有一样的低能纠缠谱结构，并且这与共形场论（CFT）紧密相关。至此，他们提出了低能纠缠谱可以作为表征拓扑态的指纹！不光如此，他们还提出了一个假想：拓扑态的低能纠缠谱与其边缘态能谱相似。

好蛋大爷一出手，一篇短短的四页论文，开辟了新领域，引领思潮（第一个题外话重点，好的工作并不一定要攻坚克难，也可以是开拓创新，引领思潮！）。此后有很多数值工作证明了好蛋大爷的猜想，但都不够系统和漂亮。几年后，祁晓亮老师等人（Qi, Katsura and Ludwig）的理论工作[4]在一些前提条件成立的情况下，通过 CFT 严格证明了二维有能隙拓扑态纠缠谱与其一维无能隙边缘态能谱的一般关系。至此，对于好蛋大爷的猜想，有了一个更漂亮的解答和证明。但局限于 CFT 的成立条件和数学推导的抽象性，人们仍没办法回答更一般多体系统中纠缠谱与能谱的关系。

轮到我们上场了。近期，本港 Meng 哥和耶鲁的另一位 Meng 哥联手，带着小赵、小陈、杭州（不是隔壁）老王和笔者等人开始研究一些纠缠熵和多体相变的问题。闻名遐迩的魔性秋裤算法（Qiu Ku）开始席卷 facebook 、微博等平台[5, 6]。某天，鄙人在听复旦理论物理报告之时，正好讲到纠缠谱和拓扑物态的关系。受限于目前的数值技术，人们只能研究一维量子系统的纠缠谱。这启发了笔者的一个想法：通过量子蒙卡结合数值解析延拓技术，求解纠缠谱（第二个题外话重点：要多听报告！）。后面的故事，就这么展开了。

二  研发算法






三  小试牛刀

有了这个方案之后，我们马上在自旋 1/2 海森堡相互作用梯子模型上做了简单的测试。此处我们选择的纠缠边界是将梯子两条链切开，如图 2(a) 所示，这个纠缠边界正比于链长 L ，这会带来纠缠矩阵的发散。本文取 L=100 ，这在其他的任何数值方法中都是不可想象的。我们得到了 A 的纠缠谱，其性质确实与 A 的能谱一致。比如链间和链内耦合都是反铁磁的时候，我们看到纠缠谱就是一个反铁磁自旋链的激发，如图 2(b) 。当我们把链内耦合改成铁磁的时候，纠缠谱就变得与铁磁自旋链的二次型激发一样。这些是老早严格对角化结果无法做到的，不作展开，感兴趣的可以看我们的论文[9]。




四  发现虫洞




图3. (a)在一个复制体内，粒子世界线演化的路径和消耗。在 A 部分，如果硬穿过整个体内，则需要跨越长为 β的时间，这带来的消耗是极其巨大的。但如果从环境的虚时间下边界穿出，则由于时空的粘连，可以瞬间达到上边界，如同虫洞一般。这个虫洞效应会大大减小世界线演化对于关联函数的消耗。(b)通过测量图 1 的复制流形上虚时间关联函数，可以清晰看到，在复制体连接处，会有一个高起的慢衰减模式，这就是由虫洞效应诱导的纠缠哈密顿量模式。而在复制体内部，关联函数快速衰减，这反映了体系本身哈密顿量的模式。(c)一个独立 A 系统的世界线演化。(d)纠缠哈密顿量 HA 的世界线演化[9]。

为了印证我们的猜测，我们测量了复制体流形上的所有虚时间关联函数，而不再只测量连接处。通过图 3(b) 可以明显看到，虫洞效应使得整数倍 β 处，即复制体连接处的关联有明显的升高。实际上，一个 β 时间段内迅速衰减的关联函数，源于体系本身哈密顿量能隙带来的消耗。而整数点隆起的关联函数，其包络线反映的，则是由纠缠哈密顿量主导的衰减模式。

下面我们来做一个思想实验（第三个题外话重点，要鼓励瞎想一通！），进一步理解纠缠谱和边界哈密顿量的关系。如刚才的梯子模型，系统 A 的每个自旋都与环境耦合。假设存在一个 A 体系，不与环境耦合，也就是把和环境的连接都切断。那么其虚时间演化由 A 部分的哈密顿量决定，如图 3(c) 。另外，存在一个由纠缠哈密顿量 HA 演化的体系，而我们只能在整数的虚时间点上观测它的演化，如图 3(d) 。注意，我们只能在整数虚时间点观察到实线的行为，事实上，整数虚时间点的演化行为就是我们在复制流形（图1）的复制体连接处看到的，它的演化行为就是由 A 上的哈密顿量导致的。所以我们看到图 3(d) 的实线处演化行为，和图 3(c) 是没有分别的。同时，定义纠缠哈密顿量的时候，我们包含了一个假设，即纠缠哈密顿量不含时，所以我们在任何虚时间时刻看到的演化行为应该一致。故而我们可以用图 3(d) 实线处的演化规则，脑补出中间段的演化过程，即虚线所示。由此，你会发现图 (d) 和图 (c) 的演化规则应该是一致的，除了虚时间长度的定义上会有差别（拉伸）。这就解释了为何图 2 中纠缠谱和单链的能谱一致。

五  大试牛刀

为了简单地验证一下这个思想实验的正确性，我们计算了一个双层海森堡模型。如果我们的猜想成立，层间切开后的纠缠谱应该和单层的正方晶格海森堡模型能谱类似。即我们对层间耦合做调整，只要耦合不极端（0，无穷等），即使体系发生相变，也不应该改变纠缠谱。事实确实如我们所料：我们测量了（1）层间耦合较小，体系处于奈尔序；（2）量子 O(3) 临界点；（3）层间耦合较大，进入 dimerized 相三种情况。它们都展示出了类似、甚至一样的激发模式，即正方晶格反铁磁海森堡模型的典型 Goldstone 模式，如图 4 。这里不得不多提一句，这是人们首次得到了一个纠缠边界是二维面的纠缠谱！在技术方面也是令人兴奋不已的！




六  一般结论

这些数值证据，事实上已经超越了好蛋猜想和祁晓亮老师等人严格证明的适用范围了。至此，我们信心爆表，又恬不知耻地（主要是笔者）给出了更普适的预言：纠缠谱的低能模式由路径积分中世界线的路径竞争决定，而纠缠边界和系统体内的时间长度是不一致的，环境时间上存在虫洞效应。我们大致可以想象，在一个复制体内虚时演化时，如图 3(a) ：若粒子世界线一直在 A 内部演化，其付出的代价大概是 βΔ 。而如果粒子的世界线在纠缠边界附近演化，它付出的代价大概是 Δe（我们粗略认为其时间长度由于虫洞效应，缩减为 1 的量级）。这里就不难得到好蛋大爷的猜想了：体内有能隙但存在无能隙边缘，所以在边缘上演化的世界线当然贡献了大量的关联信息。我们可以进一步大胆推测：即使边缘上有能隙，只要能隙有限，纠缠谱都应该和边缘能谱相似。但如果存在一个物态，其体内是无能隙的，边缘上有能隙，通过适当调节温度 β ，此时纠缠谱就应该更像体的能谱。我们又紧跟着让新来的小兄弟，传说中的 HKPF 小宋，做了一个数值计算验证了这个猜想，如我们所想，在特殊的设计下，好蛋猜想被完全反转了：系统的低能纠缠谱也可以更像是体的能谱。感兴趣的朋友们可以看我们最近的文章[10]，这里不加赘述。

行文至此，我的纠缠谱狂想曲也就奏完。附上笔者读博结婚时，婚礼上使用的logo（图 5），基于量子纠缠的理念，我称之为《同甘共苦》。虽然我们知道，量子纠缠很脆弱…唬人就行…


图 5. 作者婚礼上的 logo ，基于量子纠缠理念设计的《同甘共苦》。

参考文献

[1] Haldane F.D.M., Continuum dynamics of the 1d Heisenberg antiferromagnet: Identification with the O(3) nonlinear sigma model, Physics Letters A 93, 464, (1983)
[2]《Haldane大叔的猜想》
[3] Li H, Haldane F D M., Entanglement spectrum as a generalization of entanglement entropy: Identification of topological order in non-abelian fractional quantum hall effect states, Physical Review Letters, 101, 010504 (2008).
[4] Qi X L, Katsura H, Ludwig A W W., General relationship between the entanglement spectrum and the edge state spectrum of topological quantum states, Physical Review Letters, 108, 196402 (2012).
[5] 《我爱纠缠如秋裤｜量子多体中的呐喊与彷徨之八》
[6] 《在纠缠中窥见自然的奥秘》
[7] 《海森堡模型的谱，到底有多靠谱》
[8] Shao H, Sandvik A W. Progress on stochastic analytic continuation of quantum Monte Carlo data. arXiv preprint arXiv:2202.09870 (2022).
[9] Yan Z, Meng Z Y. The wormhole effect on the path integral of reduced density matrix: Unlock the mystery of energy spectrum and entanglement spectrum. arXiv preprint arXiv:2112.05886 (2021).
[10] Song M, Zhao J, Yan Z, Meng Z Y. Reversing the Li and Haldane conjecture: The low-lying entanglement spectrum can also resemble the bulk energy spectrum. arXiv preprint arXiv:2210.10062 (2022).